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例題128 合成関数 O
(1) f(x)=3x+1,g(x)=2x2-2.h(x)=x」のとき,次の合成関数
を求めよ.
(7) (fog)(x)
(イ)((fog)。h)(x)
(2) 関数f(x)=x+2,g(x)=3x-4 がある. (hf(x)=g(x) となる
関数h(x) を求めよ.
考え方 合成関数は順序を間違えないように注意しよう.
(1)(イ)((f°g)。h)(x) は, f°g=Fと考えると,
(F.h)(x)=F(h(x)) となる.
(2) y=f(x) とおいて, y を上手く利用する.
つまり, (hof)(x)=h(f(x))=h(y)となる.
(または、右のように f(x) の逆関数 f''(x)
を用いて考えてもよい F(x)"
2
Focus
解答 (1)(ア)(fog)(x)=f(g(x))=f(2x2-2) 20) = (x7.50 70²
=3(2x²-2)+1=6x²-5
(イ) ((fog)h) (x)= (fog) (h(x))
2
\2
===(ƒ•g)(x²-₁)=6(+²₁)²-5=x²-1³-5
逆関数と合成関数
24
合成関数 (gf) (x)=g(f(x))
f-1(x)=x-2
立つ
h(x) = (gof-1)(x)=g(f'(x))
=3(x-2)-4=3x-10
注>例題128 (2)h(x)=3x-10 のとき
(2)
(2) y=f(x) とおくと, (hof) (x)=h(f(x))=h(y)
したがって, (hof) (x)=g(x) より,
..1
h(y)=g(x)=3x-4
また, y=f(x)=x+2 より,
x=y-2
これを①に代入すると, h(y)=3(y-2)-4=3y-10
よって, h(x)=3x-10
(別解) f(x)=x+2より,
(hof) (x)=g(x)より,
h?
OOO
h?
300
=fn+
289
(f°g) (x) は(ア)の結
果を利用する.
y=f(x) とおいて,
まずん(y) を求める.
h(y) をxの式で表
す。
h:y
3y-10
より, yx を代入す
ればん(x) が求まる.
y=x+2 とすると,
x=y-2より,
f-1(x)=x-2
第4章
