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重要 例題221 無理関数の不定積分(2)
x+√x2+1=tのおき換えを利用して,次の不定積分を求めよ。
(1) S
(2) √√x²+1 dx
基本220
指針▷根号内が2次式の無理関数について,'-x"や、x+α" を含むものはそれぞれ
x=asin0, x=atan0とおき換える方法があるが,後者の場合、計算が面倒になることか
ある(次ページ参照)。そこで,x+ A(Aは定数) を含む積分には,
【CHART
解答
1
√x²+1
x+√x+4=t とおく(････････)と,比較的簡単に計算できることが多い。
(2)x+1=(x/√x+1として部分積分法で進め, (1) の結果を利用する。
√x²+Ã ħŽU¯_x+√√x²+A=t&<
(1)x+√x2+1=tから (1+√²+1)dx=dt
√√x² +1+x
ゆえに
CHART √²+1
よって
ゆえに
-dx
よって
dx=dt すなわち
1
√x²+1
1
2+1
316407==x√x²+1=√x²+1=1 dx
+x=1 .JJE
√1250 >=x√x²+1 =√(√x²+1=√x²+1
(1) の結果から
したがって x}dt=log|t|+C
=log(x+√√x²+1)+C
(2) √√x²+1 dx = S(x) √x²+1 dx=x√x² +1 -√√√₂x²+1 dx
2
-dx= ・dt
t
(1) S
√x²+1
• S√x ² + q ² dx
5572853PY
2√√x²+1 dx=x√x³+1+√√√²+1 dx
√ √x ² + 1 dx = 1/² ( x √/ x ² + 1 + √ √/ x ² + 1 x
S=1/12(x+ 1
dx
x2+1
練習
⑩221 ただし, (1), (2) では α=0 とする。
dx
=x√³x²³ +1 -√√√x ² + 1dx + S₁ 15) (T
-dx
√x2+1
-dx=dt
00000
(2) √√√x² + a²³ dx
◄(√x²+1)
= {(x²+1)²},
=(x²+1) • (x²+1)
2x
2√x2+1
=
S√x+1dx=1/{xv/x+1+10g(x+√x+1)}+C
1+1+x)
x+√x²+A=t(Aは定数)のおき換えを利用して,次の不定積分を求めよ。
x
x2+1
|x+1>x=|x|から
x+√x2+1>0
よって, 真数は正である。
< x2+1=(√x2+1)^ に着目
して,分子の次数を下げる。
同形出現。
→p.363 の解答でIを求
めるのと同様の考え方。
+/yo
に (1) の結果を利用。
(3) S dx
SA
よって
