364 第9章
標問 165 球のベクトル方程式
空間内に3点A(a,0,0), B(0, 24, 0),(0, 0, 2a) をとる。ただし、
a>0とする.
(1) 2AP･BP=AP･BC をみたす点P全体は,球面であることを示し,その
中心の座標と半径をそれぞれαを用いて表せ.
(2) (1)の球面をy軸に垂直な平面で切った切り口が、xy平面とただ1点を
共有する円となるとき, この円の中心の座標と半径をそれぞれαを用いて
表せ.
(札幌医大)
○精講
AB を直径とする球の方程式は
中心A, 半径rの球の方程式は
です.
|AP|=r すなわち|n-al=r
AP･BP = 0 すなわち (ba) (カー) = 0
解答
(1) 2AP･BP=AP･BCAP(2BP-BC) = 0
線分BCの中点 (0, a, a) を M とおくと, (*)は
AP (BP-BM)=0 .. AP.MP=0
点Pの全体は, AM を直径とする球面であり,この球面の
解法のプロセス
(1) APで式をくくる
(2) 円と平面が接する
↓
円と平面の共有点が1個
a a a
中心の座標は (01/10/01/2), 半径は1/21AM=1/24(a>0)
2'
TOGRAP
a
a
(2) (1)の映画 (11/2)+(1-1/2)+(2-122-213d²を軸に垂直な平面y=t
で切った切り口である円の方程式は
a 3
(x - 2)² + (2-2)² = ³a²-(1-2)² m² y=t
･(*)
これがxy平面とただ1点で交わる円となる条件は, z=0 として得られる
の方程式
(x - 2)² = 2²-(1-2)²³
t
-a
2
ただ1つの実数解をもつことである. そのようなt の値は
2²-(1-2)² = 0 : 1 = 1±√2
t=
a
よって,求める円の中心の座標は ( 12,
1±√2
a
号/2. 半径は10/
2
-a,
1
