aa
基本例題 157 第n次導関数を求める (1)
nを自然数とする。
y)=2"
(1) y=sin2x のとき, yim = 2 "sin (2x+笑) であることを証明せよ。
(2)y=xの第n次導関数を求めよ。
nπ
2
p.265 基本事項 ①
指針y (n) は, yの第n次導関数のことである。 そして, 自然数nについての問題であるか
自然数nの問題 数学的帰納法で証明の方針で進める。
(2) では,n=1,23の場合を調べてy(n) を 推測 し, 数学的帰納法で証明する。
注意 数学的帰納法による証明の要領 (数学B)
750
[1] n=1のとき成り立つことを示す。
[2] n=kのとき成り立つと仮定し, n=k+1のときも成り立つことを示す。
......
① とする。
解答
(1) y(z)=2"sin(2x+
Dr. 2001S ==
π
[1] n=1のときy=2cos2x=2sin(2x+ であるから,①は成り立つ。
2
(x200+ 1)S
0000
100
重要 158, p.271 参考事項
y = "sin(2x+a)
(k).
=
よって,n=k+1のときも ①は成り立つ。 nies) 9-
[1], [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立つ。
(2) n=1
23のとき.順に a (loga)
[2] n=kのとき, ① が成り立つと仮定すると
(1)n=k+1のときを考えると、②の両辺をxで微分して segaol
d -v(k)=2k+1cos2x+
kл
S
dx
2
x200+I
ゆえに yasin (2x++) =2411sin{2x+(k+1)x}
jk+1)=2*+1sin
******
②
(x200 +ania) F
p+xmiat) =
