なぜtの範囲が、t≧-1となるのか教えてほしいです🙇🏻‍♀️

16 置きかえの利用 劇部小最大量の関 最小値を求めよ. xが実数全体を変化するとき, 関数y= (x'+2x)+4(x+2x)+2の (東邦大) t=x^2+2x 解答) x2+2x=t とおくと, y=(x2+2x)+4(x2+2x)+2 = t2+ 4t+2 このグラフの頂点は →x 0 =(t+2)2-2 ... ① (-2,-2) である -1 ここで,t=x2+ 2x より, t=(x+1)2-1 y y=(t+2)2-2 となるから、 x が実数全体を変化するとき, tの範 囲は, である. t≧ - 1 t≧-1において①のグラフは右のようになる から,t=-1のときにyは最小となり, 最小値は, (−1+2)-2=-1 [ (2 -2 0 -1 -1 -2 頂点はt-1に含まれない

青線を引いたところなのですが、なぜ0<x<1の時のことを考えるのでしょうか。また、積分区間は閉区間内で考えるじゃないですか。等号が成り立たないのは開区間の時だけなのに、②の式ではイコールがつかないのはなんでですか？ すいません。わかりにくいかもです。

232 基本 例題 145 定積分と不等式の証明 (1) 00000 1 が成り立つことを示せ。 (1) 0≦x≦1 のとき,不等式 1+x2=1+x4 1 So (2) 不等式 x1 を示せ。 CHART & SOLUTION [類 静岡大] p.230 基本事項 2 (2)これまで学んできた知識では 1 1+xdx の計算ができない。そこで f(x)≧g(x) ならば f(x)dx≧Sg(x)dx (等号は、常に f(x)=g(x) のときに成り立つ ) を(1)の結果に適用する。定積分=その定義域である関区間内に含まれる 閑区間を指定して定する 解答 (1) 0≦x≦1 のとき (1+x2)-(1+x)=x2(1-x2)≧0 x20,1-x2≧0 よって 1+x2≧1+x>0 ゆえに 1+x2 1+x4 (2)(1) から, 0≦x≦1のとき 積分区間がOcx 1 1+x2 1 1+x4 ① ただし, 0<x<1 のとき ①の等号は成り立たない。 1+x2 よってx Socx dx 4 ・② +Sr<St dx I= o1+x2 において, x=tan0 とおくと 1 == 1+x2 xと0の対応は右のようにとれる。 1+tan'=cos20, dx= 等号は成り立たない。 1 にはx=αtan 0 x²+a² cosig do xC 0 → 1 inf 本間では,(1)(2)の π 00->>> 4 I= ゆえにco50.com doS30-[0]-4 03²o ヒントになっている。 (2)の みが出題された場合は π == = = COS2 また Sdx-[x]- =1 これらを②に代入すると<<1 )(x)かつ Sof(x)dx=Sg(x)dx =1 を満たす f(x), g(x) を見つける必要がある。

(2)の接線①、②ってなぜ一致するんですか？

92 例題 219 共通接線 D ★★★☆ (1)2つの曲線 y=xt共通接線の方の共有において共通の 接線をもつとき,定数の値と共通な接線の方程式を求めよ。 (2)2つの放物線y=2P-3,y=x+2x+4 の共通接線の方程式を導 めよ。 未知のものを文字でおく おく (1)y=f(x)とy=g(x) が 共有点において共通の接線 y 座標が等しい (共有点(接点)の x座標を ... f(t) = g(t) [ 接線の傾きが等しい…..' (t) =g' (t) よって、共通接線の方程式は y-54=27(x-3) すなわち (ア)(イ)より y=27x-27 a=-5 のとき 共通接線 y=3x-3 a = 27 のとき 共通接線 = 27x-27 (3)(x-3) (2) 放物線y=2x-3上の接点をP(s, 253) とおくと、それぞれの曲線上の接点 y=4xより、点P における接線の方程式は y-(2s2-3)=4s(x-s) すなわち y=4sx-2s2-3 ① 放物線y=x+2x+4 上の接点を QL, f+2+4)と おくと, y = 2x+2 より 点Qにおける接線の方程式 とおく。 3-f(x) = f(x)x-3) を用いる。 において Action» 共有点における共通接線は,(1)=g(t) (1) (f)とせよ (2) (1) との違い... 接点が共有点とは限らない。 ly=g(x)上の接点のx座標を とおく … 接線 y=( Action” 共通接線は、 2直線の傾きと”切片が一致することを用いよ だけでは表すことができない は y_(12+2t+4)=(2t+2)(x-t )x+( ) 一致 すなわち y=(2t+2)x-P+4... ② □ (1) f(x)=x+a, g(x) = 3x'+x とおくと f(x)=3x, g'(x)=6x+9 共通接線をもつ共有点のx座標をとおくと f(t)=g(t) より t+a=3t² +91 …① S'(t)=g' (t) より 34² = 61+9 ... 2 ② より 3-6-9=0 共有点のy座標は等しい。 共有点における接線の傾 きは等しい。 よってs = -1, 3 これらを ① に代入すると, 求める共通接線の方程式は y=-4x-5,y=12x-21 y=3x²+9x (別解〕 (4行目まで同じ) ①より -1+a=-6 接線 ①,②が一致することから J4s2t+2 1-2s-3= -4 ... ④ ③より t=2s-1 ④ に代入して整理すると Faded 2(s+1)(s-3)= 0 2直線が一致 ③ きと切片が一致 5 去する y=x'+2x+40/ 14 51 関数の応用 (t+1)(t-3)=0 より t=-1,3 (7) t=1のとき ゆえに a=-5 このとき (-1)=g(-1)=-6 S'(-1)=(-1)=3 よって、共通接線の方程式は y-(-6)=3(x-(-1)) すなわち y=3x-3 (イ)=3のとき ①より ゆえに このとき 27+a= 54 a=27 (3)-g(3)-54 (3)=(3)27 ① と y = x + 2x+4 を連立すると 4sx-2s2-3=x'+2x+4 x2-2(2s-1)x+2s' +7 = 0 ⑤ すなわち y=x²+a 1-6 接点の座標は(-1, -6) 接線の傾きは3 直線 ① 放物線y=x'+2x+4が接するから、⑤の 判別式をDとすると D=0 D y=3x'+x4y (-1)=(-1)(一 54 a 3 y=x+a 接点の座標は(364) 接線の傾きは27 4 =(-(2s-1)-1-(2s³+7)=2(s+1)(s-3) 2(s+1) (s-3)=0より s=-1,3 これらを①に代入すると、求める共通接線の方程式は y=-4x-5,y=12x21 放物線y=23-3 上の 2)における接 ①が放物線 +2x+4に接する ようなの値を求める。 ①とy=x'+2x+4を 連立してyを消去すると 2次方程式となるから判 別式で考えることができ る。 219 (1) 2つの曲線 y=xtx,y=-x+2x+α が,その共有点において共通 の接線をもつとき、定数aの値と共通な接線の方程式を求めよ。 接線の方程式を求めよ。

この2問お願いします！

x い 5/3 =x 12 +x x= 35 -x+ t 3 x-4 3x+1- =-3 3

数cのベクトルの大きさの最小値の問題についてです。 →cを求めた後に |→c|をルートのまま計算するのと二乗してルートを外してから計算をするのとはどちらの方が良いですか？ ※２つの画像は形式は同じですが数値が異なります

よって1(3+t+(1+2t) =√10 3 = √9+6x+t² + 1 + 4t+4+* = 5t² + 10t + 10 = = 2 = √5 (t² + 2 + ) + 10 5 { (t + 1)² - 1² } + 10 √5 (+ + 1)² + 5 (-1, 5)

この問題の(1)で最大値は頂点(2，2)のときだから、X=2、Y=2にするとおもったんですけど、どうしてこうならないのか教えてください！！！

64 第3章 2次関数 礎問 37 最大・最小(II)) ① 実数x, y について, r-y=1のとき, x-2y2 の最大値と, そのときのx,yの値を求めよ.×××/× (2)実数x, y について 2x2+y2=8 のとき, x2+y2-2.x の最大 値、最小値を次の手順で求めよ. (i) r'+y-2.x をxで表せ×10 ⑩ xのとりうる値の範囲を求めよ.xxx/x x'+y^-2.x の最大値、最小値を求めよ. ×××/× (3) y=x^+4.x3+5x'+2x+3 について,次の問いに答えよ。」 (i)x'+2x=t とおくとき,yをt で表せ. × ○/○ (ii) −2≦x≦1 のとき,tのとりうる値の範囲を求めよ.×××× −2≦x≦1 のとき, yの最大値、最小値を求めよ.XX (111) 見かけは1変数の2次関数でなくても,文字を消去したり,おきか 精講 えたりすることで1変数の2次関数になることがあります.このと 大切なことは、文字の消去やおきかえをすると 残った文字に範囲がつくことがある ことです.これは2次関数だけでなく,今後登場するあらゆる関数でいえるこ とですから,ここで習慣づけておきましょう. 解答 (1) x-y=1 より, y=x-1 :.x-2y'=x-2(x-1)=-x+4x-2 =-(x-2)2+2 はすべての値をとるので,最大値2 このとき,x=2, y=1 (2)(i) =8-22 より ●平方完成は 28 条件2+1=8のもとで、 最大、最小をもとめるから、まずその条件 での北の取りうる範囲を求めるという x2+y²-2x=x2+8-2x²-2x=-x²-2x+8 (ii)y'≧0 だから, 2(4-x2) ≧0 :. x²-4≤0 :.-2≤x≤2 ∴ (x+2)(x-2)≦0 こと!! 2次不等式 44

画像の分数式の計算式が解答を見ても理解できないため、どういう計算をしているのか、もしよろしければ教えていただきたいです！

1|x (3) 1 1- 1 1- 1-x 1-x T-x-l-x 1- 1 x 1-x (1-x)-1 1- x 1-x -x - -X 1 -x x 1 = 1 1-x x+(1-x) 1+ x

数2積分の問題です。青い波線より上の部分は解けたのですが、下の積分の式とそのあと微分するところからわからないので解説お願いします。3枚目の写真のように積分の式を考えました。

30<t<1 とする。 放物線 y=x2 と直線 l が点T (t, t2) で接している。この とき, 放物線と直線l, x軸, 直線 x=1 で囲まれた2つの図形の面積の和を Sとする。 Sの最小値を求めよ。

(8)の解き方おしえてください

44 (6)0≦x<1のとき、方程式1+cosx-sinx-tanx = 0 を解。 (7)4 18 号 2 (2/2)を小さい順に並べよ。 (8) 不等式 3x+1 ≤ 11 +4.3 - を解け。

数3微分 マーカー引いたところの意味がわかりません。何を言っているのか教えてください

標問 23 極大値・極小値 関数 f(x)= 1 IC e-axx>0 において2つの極値をもつとき, 定数α してつねに(z)( のとり得る値の範囲を求めよ. ただし, lim x2 x→∞ ex =0 である.(東京電機大)