一般項を求
〇和を求め
めることが
ことができ
〇外に
-1
X
主意
比数
応用問題 1
次の数列の和を求めよ.
S=1・3+3・9+5.27+......+(n-1) 3"
277
(D)
各項は2つの数がかけ算されていますが、 左側の数は
･･･と等差数列をなし、右側の数は3,3',3'.･・･･と等
精講
1,3,5,
比数列をなしています.つまり, これは 「(等差数列) ×(等比数列)」の形をし
た数列の和です。
この数列自体は, 等差数列でも等比数列でもないので、 公式を適用すること
はできませんが, 等比数列の公式を導くときに使った 「ずらして引く」の考え
方は有効です. それにより, 等比数列の和に帰着させることができます。
解答
S-3S を計算する.
= 1・3 + 3･32 + 5・33 +
S =
3S =
×3
+ (2n-1)3"
×3
1.32 +3.3³ + ... + (2n-3).3" + (2n-1)-3n+1
-2S = 1・3 + 23 +23+.・・・・ +
2.3²
初項 2.32=18, 公比 3. 項数
(2n-1).3n+1
カン
1 の等比数列の和
183-1-1)
=3+
-(2n-1).3n+1
3-1
24 (-1)
|=3+9(3"-1-1)-(2n-1)・3n+1
指数のたし算
=3+3+1−9−(2n-1)3n+1 9.3"-1=32・3"-1=3"+1
=-6-(2n-2)・3n+1
両辺を2で割る)
よって, S=3+(n-1)・3”+1
コメント
数列の和を求めた後, 計算の結果に自信がない場合は,S に n=1,2,3
などを代入した値
3+0.3°= 3,3+1・3°= 30, 3+2・3=165
が,もとの数列の初項、第2項、第3項までの和
1・3=3, 1・3+3・9=30, 1・3+3・9+5･27=165
と一致することを確かめておくとよいでしょう. 数列の和の計算において,ほ
とんどの計算ミスは, この方法で検出することができます.
第7章
