例題
7 (2) 方程式 x-36x +91=0 の解をすべて求めよ。
(1) aß=12,'+β'=91 を満たす実数の組 (α, β) をすべて求めよ。
指針 3次方程式 x+px+g=0の解法
[類 お茶の水大]
p=-3aß,g=α°+β° を満たす実数 α, β を求めて, 左辺を次のように因数分解。
x3+px+q=x-3aBx+α+β=(x+α+B)(x2+α2+B2-axBx-αβ)
解答 (1)' (aβ)=123=33.43, ω°+°=91=3°+4° であるから,', ' は
2次方程式2-(3°+4°)t +3・4°= 0 すなわち (t-33)(t-43)=0 の2解である。
ゆえに (a³, B3)=(33, 43), (43, 33)
α, β は実数であるから (α, B)=(3, 4), (4, 3)
(2)x-36x+91=x-3aßx + α+B3
=(x+α+B)(x2+α2+B2-ax-βx-aβ)
=(x+7) (x²-7x+13 )
したがって, 求める解は
7±√3i
x=-7,
2
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