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基本例題 62 x2+x+1で割ったときの余り
f(x)=x80-3x40 +7 とする｡
205384
(1) 方程式x2+x+1=0の解の1つをとするとき, f(ω)の値をωの1次
do to
表せ。
(2) f(x) を x2+x+1で割ったときの余りを求めよ。 を置け
00041
基本 53,61 重要
指針▷f(x) は次数が高いので, 値を代入した式を計算したり、割り算を実行したりするのは
い。ここでは,これまでに学習した, 次の方針に従って進める。好
高次式の値条件式を用いて次数を下げる
割り算の問題 等式 A=BQ+R の利用。 B=0 を考える
(1) は x2+x+1=0の解であるから w²+w+1=0
解答
(1) は x2+x+1=0の解であるから w²+w+1=0
よって
w²=-w-1, w²+w=-1
ゆえに w³=w.w²=w(-w-1)=-(w²+w)=-(-1)=1 (*)
また, 80=3･26+2,40=3・13+1であるから
f(w)=w 8⁰-3w40 +7=(w³) ²6 • w²-3(w³) ¹³.w+7
これを用いてまずω° の値を求め、その値を利用してf (w) の式の次数を下げる。
(2) 求める余りはax+b と表されf(x)=(x2+x+1)Q(x)+ax+b
これにx=ω を代入すると f(w)=aw+b
Q(x)は商
=126.(-ω-1)-3・11・ω+7=-4ω+6
(2) f(x) を x2+x+1で割ったときの商を Q(x),余りをax+b
(a,b は実数)とすると
[証明]
f(x)=(x2+x+1)Q(x)+ax+6
ω'+ω+1=0であるから
(1) から
-4w+6=aw+b
a,b は実数, ω は虚数であるから a=-4,6=6
したがって 求める余りは -4x+6
f(w)=aw+b
参考] a,b,c, d が実数, 2 が虚数のとき
(1) a+bz=0
⇔ α = 0 かつ b = 0
(2 a+bz=c+dz ⇔a=c かつ b=d
[①の証明] (←) 明らかに成り立つ。
b=0 と仮定すると 2=-
a
b
b=0
0000
一
(*) w³-1
が成り立つ。
を求め上
る。
(1)→(1)
→ (2)
=(w-1) (w²+w+1)=0
からω=1としてもよい｡
は1の虚数の3乗根であ
次数を下げて1次式に
A=BQ+R_
2割式B=0 を活用。
(50)=(1+0)
下の[参考] ② を利用。
よって
このとき
a=0
② の証明は, (a-c)+(b-d) z=0 として上と同様に考えればよい。
なお, 上の ①, ② は, p.62 の ② を一般の場合に拡張したものにあたる。
左辺は虚数,右辺は実数となるから矛盾。
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