この問題の因果関係がいまいち分からないです。tについての式を求めたのと、接線が引ける条件がtについての式が実数解をもつことがわからないです。tについての式ってことは接点のx座標の式でこれが実数解→x軸との交点？？急になんでtの式？？？実数解ってx軸との接点が1つか2つか0か... Read More

基本 例題 87 曲線に接線が引けるための条件 ①①①①① |曲線 y=exe に,点 (a, 0) から接線が引けるような定数αの値の範囲を求めよ。 指針 基本8 重要 119 ex0 であるから,点(a, 0) は曲線y=ex 上にない。 そこで, p. 144 基本例題 82 と同様に,次の方針で進める。 接点の座標を (t, f(t)) として接線の方程式を求める。 y-f(t)=f'(t)(x-t) [2] 接線が点 (α,0) を通る条件から,tの2次方程式を導く。 3 ②の2次方程式が実数解をもつ条件 (判別式 D≧0) を利用。 接線が引ける⇔接点が存在する 1 CHART 共有点⇔実数解 (0< y=exから y'=-2xex2 解答 接点の座標を (t, e-f) とすると,接線の方程式は y-e-f2te- (x-t) 0.0< (*) この直線が点 (a, 0) を通るとすると -et=-2te-(a-t) 両辺をet (≠0) で割って 整理して 2t2-2at+1=0 -1=-2t(a-t) ① 接線が引けるための条件は, tについての2次方程式 ①が 実数解をもつことである。 ゆえに、①の判別式をDとすると D≧0 D =(-a)-2.1=(a+√2)(a-√2) 4 よって (a+√2) (a-√2)≧0 したがって a≦-√2/√2≦a (*) を y=xの形 に直してからx=a, y=0 を代入するよりも (*)に直接代入する方が 早い。 2次方程式 px2+gx+r=0 が実数解をもつ⇔ q²-4pr≥0 接点のx座標 tは,① の a±√a2-2 解でt= 2

この問題で二つ解法があるのですが、解1では（i）などがどのような場合分けをしているかが分かりません。解2では5行目の（-1/2，0）ぐらいから分からなくなりました。これらは何をしているのですか?詳しく教えていただけるとありがたいです。

とき、最 133 a を定数とする. 0 に関する方程式 sin' +2acos0+a-30 について この方程式の 解の個数をαの値の範囲によって調べよ. ただし, 0≦02 とする. 1 与式より, (1-cos'0) +2acos+a-3=0 ...... ① ここで, cosa=t とおくと, また, ①は, -1≤t≤1 1のとき,対応する 0 の値は1個 とき, 対応する 0 の値は2個 t2-2at a+2=0 ・・・・・・2 この左辺をf(t) とおくと, f(t)=(t-a)-a-a+2 よって, y=f(t) のグラフは, 軸が直線 t=α で,下。 に凸の放物線である. ここで,②が実数解をもつのは,f(t) の頂点のy座標 が0以下のとき,すなわち, -d-a+2≦0 より a-21≦aのときである. (i) a≦2 のとき 軸は区間の左側にあり f(1=-3a+3≧9 よって、②が=-] を '解にもつとき,すなわち, f(-1)=a+3=0 より a=-3 のとき,与えられ 程式は解を1個もつ. | sin'0+cos20=10 T Ka≦-2より、 -3a≥6 -3a+3≥9 20 4 a 0 t 対応する の値は1個 > また,②が-1<t<1に解をもつとき,すなわ ち,f(-1)=a+3<0 より, a<-3 のとき,与え られた方程式は解を2個もつ. -3<a≦-2 のとき, 与えられた方程式は解をも たない. (ii) -2<a<1 のとき ②は実数解をもたない. (ii) a≧1 のとき 軸は区間の右端または右 側にあり,f(-1)=a+3≧4 よって② t=1 を解 にもつとき,すなわち, f(1)=-3a+3=0 より, a=1 のとき,与えられた la 対応する0の値は2個 f(1) >0より,f(-1) <0 の とき, -1<t<1で解をもつ. Ka≧l より, a +3≧4 対応する0の値は1個 方程式は解を1個もつ. また,② が-1<t<1に解をもつとき,すなわ 【対応する8の値は2個 ち,f(1)=-3a+3 < 0 より, a>1 のとき, 与えらf(-1)>0より,f(1) <0 の れた方程式は解を2個もつ. とき, -1<t<1 で解をもつ. 以上より, a3のとき 2個 a=-3 のとき 1個 -3<a<1 のとき, 0個

下から三行目の波線の意味がわかりません なんでこの条件が必要なんですか？

数が、もとの [奈良] 000 基本 式となるため 域が一致するこ 解法。 とする。 y=√x+1-1 ...... ① とすると 解答 ①から √x+1=y+1 ←このまま2系だめ? 基本 例題 12 関数とその逆関数のグラフの共有点(1) 00000 f(x)=√x+1-1の逆関数をf'(x) とするとき,y=f(x)のグラフとュー(八 y=f-l(x) のグラフの共有点の座標を求めよ。 指針 基本 10 ①共有点実数解 逆関数f(x) を求め, 方程式 f(x)=f(x) を解いて共 有点のx座標を求める方法が思いつくが、これは計算が大変になることも多い。 そこで,y=f(x)のグラフとy=f(x)のグラフは直線 y=xに関して対称であ ることを利用するとよい。 つまり,y=f(x), y=f(x)のグラフの図をかいて、 共有点が直線 y=x上のみにあることを確認し, 方程式 f(x)=xを解く。 27 1 章 x≧-1, y-1 f(x)の定義域, 値域を 調べておく。 逆関数と合成関数 y=f-1(x)/ xとyを入れ替えて よって, x+1=(y+1) から y≠bである y=(x+1)2-1,x≧-1 すなわち f'(x)=(x+1)-1, x≧-1 x=(y+1)2-1 y y=x m (x)の定 あるとき、 よって, f(x)=x とすると y=f(x) のグラフとy=f'(x)のグラフは直線 y=x に関して対称であり、図から、これらのグラフの共有 点は直線 y=x上のみにある。 y=f(x) -1 0 -at ら √x+1=x+1 ゆえに 牛) これを解くと x=0, -1 関数 十分 両辺を平方して x+1=(x+1)2 これらのxの値は x≧-1 を満たす。 したがって, 求める共有点の座標は (0, 0, -1, -1) 別解 f(x)=f(x) とすると /x+1-1=(x+1)-1 ゆえに √x+1=(x+1)2 両辺を平方すると f(x)=x を解いてもよ い。 (x+1){(x+1)-1}= 0 から x(x+1)=0 方程式f(x)=f(x) を 解く方針。 x+1=(x+1)*015) [ よって (x+1){(x+1)-1}=0 ゆえに x(x+1)(x2+3x+3) = 0 √x+1-1=x x-1であることと, x+3x+3=(x+2/23)+2400から 3=(x+1/2)+1/30から x=0-1 e x=0 のとき y=0, x=1のとき y=-1 したがって, 求める共有点の座標は (0, 0), (-1, -1) 注意 y=f(x) のグラフとy=f'(x) のグラフの共有点は, 直線 y=x上だけにあるとは限 らない。 Jeb 例えば,p.25 基本例題 10 (2) の結果から,y=-2x+4 とy=-1/2x+2(x≧0)は互いに逆関 数であるが,この2つの関数のグラフの共有点には,直線y=x上の点以外に, 点 (2,0), 点 (02) がある。 練習 12 x1300 f(x)=-1/2x+2(x0)の逆関数をf'(x)とするとき,y=f(x)のグラフと y=f(x) のグラフの共有点の座標を求めよ。

グラフの赤線を引いているところについて質問です。 問題文にyは出てきていないのに、なぜyが出てくるのですか？🙏

練習問題 8 a は実数の定数とする. πについての方程式 logx=ax² A の解の個数をαの値によって場合分けして答えよ. ただし, logx lim -= 0 であることは使ってもよい. 81 I 精講 練習問題7と同じように,f(x)=logx-ar として y=f(x) の 48 グラフとx軸の共有点の個数を考えてもいいですが,ここではもっ といい方法があります. おなじみの「定数と変数を分離させる」というテク ニックです . 解答 対数の真数条件より, x>0である. logx 両辺を'(0) logx=ar2⇔ =a で割る f(x)=10gx とおく. とαを分離した 1 r²-logr.2x I f'(x)=- I limf(x) = lim エー+0 logx =18 1-2log.x I 2- --logr + +0 lim logr 20 I 不定形ではない を用いる +0 limf(x)=lim log.x =lim log 2 =0 ∞I I ↑ 不定形 0 x>0 における f(x) の増減は、下表のようになる. I ((0) √e (∞) f'(x) 0 f(x) 8 1 (=VE) (0) 2e y=logx| y=2 方程式 f(x)=αの解の個数は,y=f(x) と y=aのグラフの共有点の個 数であるから,図より y=a すとこ f ます。 [応用 のの その条件 これが 211

画像の3行目の因数分解はどのようにするのでしょうか？ 教えてください🙇

Cと直 ここで, 3 示は、 1 x² = - 1 x+a² + 2a 2 1 1 x² + x-a² =0 2a 2 I I ← (x − a) (x+a+ 1/1 ) = 0 2a 1 ← ⇒x=a, -a- 2a° a-(-a- -(-a-za) 2a = 4a²+1 -キ0 2a

この問題の(3)について質問です。解説に(✽)の直線が点(6,2)を通る時にkは最小値をとり…とありますが、(6,2)はどこから出てきたのでしょうか。解説よろしくお願いします🙇

第1問 (必答問題) (配点 30 ) [1] 文化祭の展示品を制作する際に使う塗料を調達することになった。必要となるのは、黒 い塗料が1200mL. 白い塗料が2000mL, 青い塗料が1000mLである。 これらの塗料の入手方法を調査したところ、それぞれを単品で購入するよりも、セット 販売の商品を購入した方が費用を安くできることがわかった。 利用する業者の候補は次の 二つである。 業者 X: 黒い塗料 300mL. 白い塗料 300 mL, 青い塗料 100mL のセットを1000円で販売 している。購入するセットの個数に関わらず一律で一定の送料がかかる。 業者 Y: 黒い塗料 100mL, 白い塗料 200mL. 青い塗料 200mLのセットを1500円で販売 している。購入するセットの個数に関わらず一律で一定の送料がかかる。 x,yを0以上の整数とし、業者Xのセットを2個,業者Yのセットを個購入する とする。このとき、費用をなるべく安くするためには,どのセットを何個購入するのがよ いかを調べよう。 (1) x, y は次の条件を満たす必要がある。 黒い塗料についての条件 ア ≧ 1200 白い塗料についての条件 ≧ 2000 青い塗料についての条件 ≧ 1000 ア ~ ウ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。) 100x + 100y ① 100x +200y 200x+100y ④ 200x+200y 100x+300g 200x+300y 300.x + 100y ⑦ 300x+200y 300x +300y (数学Ⅱ・数学B第1

黄色線の値をどうやって求めるのか、青線の所で3つ目の点が最大値になるのがどうやって分かったのか教えて欲しいです！🙇🏻‍♀️

Same 実数x, yが4つの条件 Style 54 3x+4y≦20, 3x+2y≦12, x≧0, y≧0 (1) x, yの値を求めよ。 をすべて満たしながら動くとき, x+yの最大値と,最大値を与える [21 学習院大]

この問題で(iii)の条件がなぜ必要なのか教えていただきたいです🥲よろしくお願いします🙏

imagine ! ©Disney KCL 142 第2章 2次関数 Think 例題 69 解の存在範囲(1) ***** 2次方程式 x2ax+3a=0 の異なる2つの実数解が,ともに2より 大きくなるような定数αの値の範囲を求めよ. [考え方 このような2次方程式の解の存在範囲を求めるときは,まず y=f(x)=x2-2ax+3a とおいて考える. 2次方程式 f(x) =0 の実数解は, 2次関数 y=f(x) のグラフとx軸との共有点のx座標である。このこ とに着目して, 「異なる2つの実数解が, ともに2よ り大きくなる」場合のグラフはどうなるかを考える。 2- 解答 y=f(x)=x-2ax+3a とおくと, f(x)=x2-2ax+3a =(x-a)2-a²+3a (東京工科大・改) (2,F(2) x=2 x=a a y=f(x) を平均 より,y=f(x)のグラフは,下に凸の放物線で, 軸が直線 x=α, 頂点が点 (a, -d+3a) となる. する. (S)01 ||x=2x=a f(x) =0 の異なる2つの実数解 が、ともに2より大きくなるのは, (2,2 y=f(x)のグラフが右の図のように なるときである. a 48 よって, 求める条件は, (i) (頂点のy座標) < 0 (ii) 軸が直線 x= 2 より右側 (iii) ƒ (2)>0 である. (i) -a²+3a<0 a²-3a>0 a(a-3)>0 より a <0, 3<a......① (ii) a>2 ② (iii) f(2)=4-4a+3a>0 0(1-3)(+)- RMO 0-1-+x(-) 910=0 1-3)= 頂点,軸, f (2) 0 に着目する. (i)は,判別式 D> より, 4 +20 L=(-a)-30 の両辺に =a2-3a>0 としてもよい より a<4 よって,①~③より, (3) 3<a<4 (3 数直線上で共通 (2 を確かめる。 3 4 a Focus 解の存在範囲の問題 (異なる2つの実数解が より大きい)は、頂点(判別 練習

四角1の場合分けの時、重解てゆうてるんですけど、2点で接する時って絶対接する点のXの値が違うのに何故、重解ってなるんですか？

いて 2/20 155 重要 例題 95 放物線と円の共有点 接点 00000 本 放物線y=1/2x2+α 円 x+y=16 について,次のものを求めよ。 (1)この放物線と円が接するときの定数αの値 基本事項 本例で (2)4個の共有点をもつような定数αの値の範囲 MOTO CHART & SOLUTION 放物線と円 共有点実数解 接点重解 この問題では,xを消去して, yの2次方程式 4(y-a)+y2=16 の実数解, 重解を考える。 なお,放物線と円が接するとは,円と放物線が共通の接線をもつと で、この問題の場合, 右の図から, 2点で接する場合と1点で接す る場合がある。 解答 (1) y=1/2x2+α から x=4(y-a) ただし,x20 であるから ya ...... ②直 ① を x2+y2=16 に代入して 日 824(y-a)+y'= よって y'+4y-4a-16=0 a=4 YA [2] の方程式 4 基本 88 1点で 接する 3章 2点で接する if α=4 のとき,③は y2+4y-32=0 すなわち (y-4)(y+8)=0 [2] a=-4/ から,y=4(適), -8 (不適) で重解をもたない。 y=-x+4 しかし, の AX |x2+y2=16 連立方程式で,yを消去す ると (3) [1] 放物線と円が2点で接する場合 2次方程式 ③は重解をもつ。 ③の判別式をDとすると 0 x 4 ~[1] 21-5 =16 星=2°-(-4a-16)=4a+20 整理して x2(x2+48)=0 D=0 から a=-5 この4次方程式は,2重解 12 円,円と直線,2つの円 このとき、③の重解は y=-2 であるから②に適する。 x=0 をもつから,点(0,4) [2] 放物線と円が1点で接する場合 図から, 点 (0, 4), (0, -4) で接する場合で a=±4 [1], [2] から, 求めるαの値は a=±4,-5 (2) 放物線と円が4個の共有点をもつのは,上の図から,放 物線の頂点が,点(0, 5) 点 (0, -4 を結ぶ線分上端 点を除く)にあるときである。 よって、 求める定数αの値の範囲は -5<a<-4 PRACTICE 95º で接していることがわかる。 同様に, α=-4のときx についての4次方程式を導 くと x-16x2=0 すなわち x2(x²-16)=0 (2重解),±4 から,x=0 をもつから 点 (0,-4) 接していることがわかる。 放物線と円の交点が4個とな

なんで①じゃなくて②だとわかるんですか

93 614 / 曲線 y=x3+x2-3 +6 上の点 (1,5) における接線と,この曲線で囲まれた図形の面積Sを 求めよ。