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討
付
基本 例 17 分数式の恒等式
-2x+6
a
次の等式がxについての恒等式となるように,定数a, b, e の値を定めよ。
①①
b
C
(x+1)(x-1)*
x+1 x-1 (x-1)*
―+
基本 15,16
指針 分数式でも、分母を0とするxの値(本間では1.1) を除いて、すべてのxについ
て成り立つのが恒等式である。 与式の右辺を通分して整理すると
-2x+6
(x+1)(x-1)*
Q(x-1)-6(x+1)(x-1)+c(x+1)
(x+1)(x-1)*
両辺の分母が一致しているから、分子も等しくなるように、係数比較法または
入法でa, b, c の値を定める。このとき、分母を払った 多項式を考えるから,
0にする値x=-1,1も代入してよい (下の検討 参照)。
(分母) 0から
分母を
(x+1)(x-1)**0
両辺に (x+1)(x-1) を掛けて得られる等式
解答
2.x²+6=a(x-1)-6(x+1)(x-1)+c(x+1)
もxについての恒等式である。
①
係数比較法による解者
解答 1. (右辺)=a(x²-2x+1)-b(x-1)+cx+c
=(a-b)x2+(-2a+c)x+a+b+c
よって-2x2+6=(a-b)x2+ (−2a+c)x+a+b+c
両辺の同じ次数の項の係数は等しいから
「両辺の係数を比較して
と書いてもよい。
a-b=-2,-2a+c=0, a+b+c = 6
この連立方程式を解いて
a=1, b=3, c=2
解答 2. ①の両辺にx=-1, 0, 1 を代入すると,それぞれ数値代入法による解答
4=4a, 6=a+b+c, 4=2c
この連立方程式を解いて
a=1, b=3,c=2
の右辺に代入し、展開
このとき,①の両辺は2次以下の多項式であり、異なる 求めた a,b,cの値を
3個のxの値に対して成り立つから, ① は xについての
恒等式である。
したがって
a=1, b=3,c=2
たものが①の左辺と一
致することを確かめて
よい。
分母を0にする値の代入
分母を0にする値 x=-1,1を代入してよいかどうかが気になるところであるが、これ
問題ない。なぜなら、値を代入した式①は,x=-1,1でも成り立つ多項式の等式だ
である。
すなわち, xにどんな値を代入してもよい。
そして、この等式が恒等式となるように係数を定めれば, 両辺を (x+1)(x-1)で割
られる分数式も恒等式である。 ただし, これはx=-1,1を除いて成り立つ。
等式
1
(x+1)(x+2)(x+3)
a
x+1
b
C
+
+
x+2
がxについての恒等式と
x+3
うに、定数a,b,cの値を定めよ。
[類 静岡理工科大]
