基本
(1) n
例題
120 互いに素に関する証明問題(1)
00000
は自然数とする。 n+3は6の倍数であり,n+1は8の倍数であるとき,
n+9は24の倍数であることを証明せよ。
(2)任意の自然数nに対して、連続する2つの自然数nn+1は互いに素で
あることを証明せよ。
針
/p.525 基本事項 2 重要 122
(1)を用いて証明しようとしても見通しが立たない。 例題 110 のように,n+1,
n+9 がそれぞれ8, 24の倍数であることを、別々の文字を用いて表し, n を消去す
る。そして, nの代わりに用いた文字に関する条件を考える。 次のことを利用。
a, 6は互いに素で, akが6の倍数であるならば,
kはの倍数である。......★
(2)nn+1は互いに素⇔nとn+1の最大公約数は
nとn+1の最大公約数をg とすると
(a, b, は整数)
n=ga, n+1=gb (a,bは互いに素)
この2つの式からnを消去してg=1 を導き出す。 ポイントは
A,Bが自然数のとき, AB=1 ならば A=B=1
CHART
11 ak=blならばんはの倍数 7αの倍数
a,bは
互いに素 2 αと6の最大公約数は1
(1) n+3=6k. n+1=81(k, lは自然数) と表される。 参考 (1) n+9は,6
答
n+9=(n+3)+6=6k+6=6(k+1)
n+9=(n+1)+8=8l+8=8(+1)
よって
6(k+1)=8(1+1)
すなわち
3(k+1)=4(+1)
3と4は互いに素であるから, k+1は4の倍数である。
したがって, k+1=4m (mは自然数) と表される。
したがって,n+9は24の倍数である。
ゆえに
n+9=6(k+1)=6.4m=24m
数かつ8の倍数である
ら,6と8の最小公倍
である24の倍数と
て示してもよい。
<指針
★ の方
なお、「3と4は互い
素」は重要で,この
がないと使えない。
では必ず書くように
