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107 √2次式の値が自然数となる条件
n²+40 が自然数となるような自然数n をすべて求めよ。
3 重要 例題
指針>
√n²+40=
よって
ここで, A,B,Cが整数のとき, ABCならば A,BはCの約数
を利用して, ① を満たす整数m+n, m-nの組を考える。
(は自然数)とおき,両辺を平方して整理すると²-n²=40
(m+n) (m-n)=40
・①
このとき,0,n>0より+n>0であるから,①が満たされるときm-n>0
更に,m+n>m-nであることを利用して,組の絞り込みを効率化するとよい。
CHART 整数の問題 (積)=(整数)の形を導き出す
1
- (2数の積)=(整数)の形。
解答
²+40mmは自然数) とおくと n<m
平方してn²+40=m² ゆえに (m+n) (m-n)=40
mnは自然数であるから, m+n, m-nも自然数であり,
40の約数である。
また,m+n>m-n≧1であるから ① より
[m+n=40 [m+n=20
m-n=1
>
一致す
...
m+n=10 m+n=8
m-n=5
m-n=2'lm-n=4'
41
13 3
解は順に(m,n)=(1/2,228) (11, 9), (7,3),
39), (22.2)
したがって、求めるnの値は n=9, 3
<<n=√√n² <√n² + 40 =m
①m²-n²=40
<n>0から m+n>m-n
<m+n=a,m-n=bとす
ると
a+b
2
a-b
2
<m n が分数の組は不適。
m=
n=
検討 積がある整数になる2整数の組の求め方
上の解答の①のように、積) = (整数)の形を導く
1つである。(積)=(整数)の形ができれば、指針の
答えにたどりつくことができる。
また、上の解答では、積が 40 となるような2つ
の自然数の組を調べる必要があるが, そのような組
は、右の で示された, 2数を選ぶと決まる。
例えば、 140 に対して (1,40) と (40, 1) の2組
ある。 ちなみに, 「(積が40となる) 2つの整数の組」
が決まるから、条件を満たす組は全部で4×2=8 (組)
という条件の場合は、負の場合も考える必要がある
ため、組の数は倍 (16組) になる。
しかし、上の解答では,
る。 なお、整数α bに対し (a+b)(a-b) = 26 (偶数) であるから, a+b と α-bの偶奇は
そのことを利用すると, 上の解答の の組は省くことができて, 2組に絞られるか
ことは,整数の問題における有効な方法の
を利用することで,値の候補を絞り込み,
40 の正の約数
4023･5 から (3+1)(1+1)=8(個)
1,2,4,5,8,10, 20, 40
を利用することで, (m+n,m-n) の組を4つに絞る工夫をしてい
473
4章
17
約数と倍数、最大公約数と最小公倍数
る｡
であ
であ
1,
n-
音数
あ
あ
った
数
こ
①
+ PN
>
