黄色で印をしたとこで、なぜ2√7・√1＋1の２乗で長さ求めれるの？？

基本 例題91 円によって切り取られる線分の長さ 円x+y°=16 が直線 y=x+2 から切り取る線分の長さを求めよ。 円(x-2)+(yー1)=4 と直線 y=-2x+3 の2つの交点を A, Bとするとき 140 ID.132 基本事項2 CHART lOLUTION 本 円と直線(弦) 中心から弦に垂線を引く 共有点 → 実数解 方針 円の弦の両端と中心を結ぶと二等辺三角形 ができるから,中心0から弦 ABに垂線 OMを下ろす と, Mは弦の中点 → A0AM に三平方の定理を適用 して弦の長さを求める。 1 B 2 M~ 径 A 半径|0 0とABの距離 AB=2AM=2,/0A°-OM° 解答は方針日,別解は方針2を用いる。 解答 円と直線の交点を A, Bとし,線分 AB の中点をMとする。 線分 OM の長さは,円の中心 (0,0) と 直線 y=x+2 の距離に等しいから 4 4 B ←原点と直線 ax+ by+c=0 の距離は =/2 M/2 -2 OM= VT+(-1) 円の半径は4であるから AB=2AM=2OA?-OM =2/4°-(/2)=2,/14 「4 14x 実(Va+6 ① 0 inf. 直線y=mx+n上に ある線分 AB の長さは,2 点A,Bのx座標をそれぞ れg, Bとすると AB=|8-aW?+m… |中 A 別解 直線の方程式を円の方程式に代入して整理すると x?+2x-6=0 B/ のの判別式をDとすると D 1+m° m よって,①は異なる2つの実数解をもつ。その実数解を α, Bとすると,解と係数の関係から A α+8=-2, aB=-6 18-|" 円と直線の交点の座標は(α, α+2), (8, B+2)であるか 2次方程式0の解は x=-1±、7 であるから =-1-、 8=-1+/7 とすると より ら,求める線分の長さは V(B-a)+{(B+2) (α+2)} =\2(B-a)=\2{(α+B)-4aB} =2{(-2)?-4(一6)}=2/14 三 AB=2/7-1+1F=2 PRACTCE…91° ABの長さを求めよ。 「東京電徳大

PFの辺の長さはなぜa？

この楕円でいうところの短い部分に対応します。なぜなら、もし軌跡の点Pが楕円の上部分や下部分にきた場合 "iP(z,9) 0 F F C ーC 高校数学の知識庫 math-souko.jp

15行目の(右辺)>0のとこがよく分かりません

基本例題 29.(2) 29 不等式の証明(絶対値と不等式) 47 .38基本 次の不等式を証明せよ。 (の70?7 どたとm (1) la+b|<lal+|| (2) lal-|b|<|aーb p.38 基本事項 4, 基本 28 1章 CHART SOLUTION 似た問題 1 結果を使う (1) 絶対値を含むので,このままでは差をとりにくい。|AP=A° を利用すると, 絶対値の処理が容易になる。 よって, 平方の差を作ればよい。 (2) 不等式を変形すると そこで,(1)の不等式を利用することを考える。 2 方法をまねる la|<la-b|+|b|↑ =と似た形 回の方針 三し。 解答) の(1) (lal+|b)?-la+b?=(laP+2|a||6|+16円)-(a+b)° =a°+2|ab|+ 6°ー(α°+2ab+6°) =2(Iab|-ab)20 |inf. A20 のとき ー|A|SA=|A| A<0 のとき く の la+bf<(lal+|b) Ja+b20, Jal+1620 であるから la+b|<la|+|| 別解 -lalsaハlal, -|6|<b<6| であるから ー|A|=A<|A| であるから,一般に -|A|SAS|A| 更に,これから JA|-A20, |A|+A20 よって -lal+|b)<a+bslal+\|| la+b|<la|+|b| 辺々を加えて lal+|b|20 であるから Tc20 のとき -cSxSc=→ x|Sc (2) (1)の不等式の文字aを a-6 におき換えて xS-c, cSx 1ece lx2c lalsla-b|+|b| lal-|6|<la-b| よって ゆえに 2の方針。lal-b|が負 の場合も考えられるの で、平方の差を作るには 別解 [1] |al-16|<0 すなわち lal<|b| のとき (左辺)<0,(右辺)>0 であるから不等式は成り立つ。 [2] lal-|b|20 すなわち |al26| のとき laーbP-(la|-|60=(a-b)° (α-2ab|+6) =2(-ab+lab|)<0 場合分けが必要。 inf.」等号成立条件 (1)は0から,lab|=ab, すなわち, ab20 のとき。 よって,(2) は(a-6)b20 ゆえに(a-b20 かつ 620) または(a-b<0 かつ b<0) すなわち a2b2)または asbs0 のとき。 (lal-|b)?<la-bP la-b20, la-b20 であるから lal-16|<la-b| よって |等式·不等式の証明

(2)の2x -3y＝1 上の点(2、1)。。。。 の点(2、1)ってどこから出てきた？

基本例題80 点と直線の距離 125 )座標平面において,直線 y=-2x に平行で、原点からの距離がV5 C ある直線の方程式をすべて求めよ。 (2) 平行な2直線 2x-3y=1, 2x-3y=-6 の間の距離を求めよ。 T8 【東京電機大) p.115 基本事項7 CHART 点と直線の距離点と直線の距離誰の公式を利用 OLUTION 点(x1, )と直線 ax+by+c=0 の距離dは d=laxi+byn+c| V+ 直線の方程式は必ず一般形に変形してから利用する。 (1) 直線y=ー2x に平行な直線を y=-2.x+k すなわち 2x+y-k=0 と衣 し、原点からの距離の条件からたの値を決定する。 (2) 平行な2直線 e, m 間の距離 e上の点Pとmの距離dは, Pのとり方によらず一定で 3章 11 ある。 m P この距離dを2直線《とmの距離という。 よって,2直線のうち, いずれかの上にある1点をうまく選び,これともう一 方の直線の距離を求めればよい。 e 線 (解答) (1) 求める直線は y=-2x に平行であるから,y=-2x+k 合傾きが一致。 と表せる。 \y 原点と直線 2x+y-k=0 の距離が V5 であるから -一般形に変形する。 15 x =/5 22+1° すなわち ||=5 ゆえに k=±5 ソ=-2x したがって,求める直線の方程式は y=ー2x+5 *計算に都合のよい点,例 えば,座標が整数になる 求める距離は,直線 2.x-3y=1 上の点 (2, 1) と直線 2ォ-3y+6=0 の距離と等しいから |2-2-3·1+6|. 7 V13 122+(-3)° ような点を選ぶ。 (-1, -1)などでもよい。 生○

➁の上の式に、＋1はあるけど、なぜですか？

直線:x+y+1=0 に関して点P(3, 2) と対称な点Qの座標標を求めよ。 cleorNe 124 点Qの座標を(α, b) として, 上の [1], [2] が成り立つように, a, bについて 1 8OO00 基本例題79 直線に関して対称な点 D.115 基本事項 6 重要83, 基本 あ CHART● OLUTION 線対称 直線(に関して2点P, Qが対称 [1] 直線 PQ がlに垂直 [2] 線分 PQの中点が上にある HA 連立方程式を作る。 解答 b-2 傾き 点Qの座標を(a, b) とする。 直線eの傾きは a-3 l:y=-x-1 -1 P(3,2) 直線 PQは×軸に ではないから a b-2 -1|0 直線 PQの傾きは a-3 (3+a 2+b 2 2 直線 PQ がlに垂直であるから b-2--1 両辺に -(a-3)巻 て b-2=a-3 a-3 Q(a, b)傾き -1 (角 よって a-b-1=0 (1 3+a また,線分 PQの中点 2+6 人外コを 2 2 が直線上にあるから 0- 3+a,2+6 2 +130 2 よって a+b+7=0 2 0, 2を連立させて解くと したがって,点Qの座標は( a=-3, b=-4 合O+2 から 2a+6=0 など。 B612 S

この空欄には何が入ると思いますか？ 誰か教えてください🙇‍♀️

DCIE E hezi an 本文中で学習したイディオムや表現について確認しましょう。 Idioms & Expressions の 下線部に注意して, 日本語に合うように英文を完成しなさい。 (1)ローズとはニューヨークに滞在中に知り合いになりました。 I know Rose while I was in New York.

「余りが0かBより低い次数」のBより低い次数になるってなぜですか？

割り算の基本公式 同じ1つの文字についての2つの整式 A,B (B≠0) において、A を B で割ったときの商をQ、余りを R とすると A = BQ + R ただし、R は 0 か､ B より次数の低い整式

赤印つけたとこって、α＋β≧4、αβ≧4にならないのはなぜですか？

基本例題 50 2次方程式の解の存在範囲 (2) についての2次方程式xー(a-1)x+α+6=0 が次のような解をもつよ とも うな実数αの値の範囲をそれぞれ求めよ。 (1) 2つの解がともに2以上である。 p.71 基本事項 5. 基本49 (2) MOIT 1つの解は2より大きく、他の解は2より小さい。 の発医薬 CHARTO OLUTION 実数解 α, β と実数の大小 a-k, β-k の符号から考える (1) 2以上と2を含むから、等号が入ることに注意する。 2018- az2, B≥2 ⇒ (a-2)+(8-2) ≥0, (a-2)(B-2)≥0 (2) <2<BまたはB<2<a (a−2)(B-2)<0 解答 | inf. 2次関数 TER x2-(a-1)x+a+6=0 の2つの解をα,βとし, 判別式をD とすると f(x)=x²-(a-1)x+a+6 D={−(a−1)}²−4(a+6)=a²−6a−23 のグラフを利用すると 解と係数の関係により a+β=a-1, aβ=a+6 (1) D≥0, AN (1)≧2,β≧2 であるための条件は、次の① ② ③ が同時 に成り立つことである。 (軸の位置) ≧2, f(2)≥0 D≧0 TE ・① a-1 (a-2)+(B-2)≧0 20 (a-2)(B-2)≥0 (2) ①から a²-6a-23≥0 DRPD TO**** ゆえに a≦3-4√23 +4√2 ≦a a (4) DO 2 ②から a+β-4≧0 ゆえに (a-1)-4≥0 よって a≧5 ...... (5) (2) f(2)<026 ③から aβ−2(a+β)+4≧0 (p.715 補足 参照) =560 ゆえに a+6-2(a-1)+4≥0 よって a≦12 ...... 6(E)S+x=(x)\ ④,⑤,⑥の共通範囲を求めて 3+4√2 ≦a≦12 ⑤5 (2) α<2<β または β<2<α であるための条件は 3-4√2 1 5 3+4√2 12 a (a-2)(B-2)<0 ◆このとき、D>0は成り よって α+6-2(a-1)+4<0 これを解いて (a>12 立っている。 (p.704 解説 参照) ( PRACTICE･･・･ 50 ③ 2 xの2次方程式x2-2px+p+2=0 について,次の条件を満たすよう、 の範囲を求めよ。 78 x= B (S) x C B6

(1)、(2)の答えで、なぜ係数が整数にならないとダメですか？

解α, B を すき掛けの 数分解できる 解答 は解の公式 の前の 15 (1) うに! の範囲の固 の範囲の 数の場合も 回数分解で まで 00000 本 例題 47 2数を解とする2次方程式の作成 2次方程式 2x²-x+3=0 の2つの解をα, β とするとき, 次の2数を解と する2次方程式を1つ作れ。 (1) 1 a' B (2) 2,B2 p.70 基本事項 基本44 MOITUIO CHART O OLUTION 2次方程式の作成 2数の和と積を求める ・・・・・・!! 2数p, g を解とする2次方程式の1つは (x-b)(x-g)=0→x²-(p+g)x+pq = 0 和 積 つまり, pg,pg の値がわかればよい。 カ+g, pg の値は,α+β, αβの値から求められる。 α+B,αß の値は,もとの2次方程式で解と係数の関係を用いて求める。 ← α, βは2次方程式 2次方程式 2x2x+3=0 において、 解と係数の関係により a+β=__1 2 aβ= 1=121.43=12/2 2x2-x+3=0 の2つの解 11/13 a+B 3 A+o a aß X B 0888 = 12 + 2 = 1 × ² / 2012 2 3 3 ★2数/11/ の和 a 1= 3 2 1 a B aß 2数÷ の積 2 3 a' B0 ゆえに, a B を解とする2次方程式の1つは x ²-1/² x + ² = 0 3 ◆各係数が整数となるよ うにする。 両辺に3を掛けて 3x²-x+2=0 (2) a² + B² = (a +B)²-2aß= (2) - 2.2 m2数α², B2 の和(s) a²p² = (aß)² = ( 2 ) ² = 2数²2, B2 の積 ゆえに,d2, B2 を解とする2次方程式の1つは 9 (1/21)x+1/30 すなわち+1x+1=0 各係数が整数となるよ 1² 4 うにする。 4x2+11x+9=0 両辺に4を掛けて RACTICE..‥. 47 ② 2次方程式x2-2x+3=0の2つの解をα,βとするとき,次の2数を解とする2 84-1 Urn B612 + || 1.1. 75 =1÷ 21

(2)の (ab＋1)＋c>(a＋b)＋c が abc＋2>a＋b＋c になったことの過程を教えてください

重要 例題 35 不等式の証明の拡張 一 Ca|<1,|6|<1, |c|<1 のとき,次の不等式が成り立つことを証明せよ。 (1) ab+1>a+b (2) abc+2> a+b+c C CHART @ OLUTION 似た問題 MOITUIO ① 結果を使う ② 方法をまねる (1) 大小比較は差を作る方針。 (2) (1) の2文字 (a,b)から3文字 (a,b,c) に拡張された問題。 1 の方針で、 (1) の結果を2回使って証明する。 |a|<1, |6|<1 から |ab|< 1 であることに注目。 解答 (1) (ab+1)-(a+b)=(6−1)a-(6-1)=(a-1)(b-1) |a|<1,|6|<1 であるから a-1<0, b-1<0 (a-1)(6-1)>0 すなわち (ab+1)-(a+b) > 0 よって したがって ab+1>a+6 lab/<1-1- (2) |a|<1,|6| <1 であるから |ab|<1, |c|<1 であるから, (1) を利用して (ab)c+1>ab+c 0=(xx+x(s よって abc+2>ab+c+1 +c) (1) から (ab+1)+c>(a+b)+c TOTED?< ゆえに abc+2>a+b+c 別解 (abc+2)-(a+b+c)=(bc-1)a+2-b-c |b|<1,|c|<1 であるから |bc|<1 よって bc-1<0 |a|<1 であるから a <1 ゆえに ( bc-1)a> (bc-1)・1 よって ( bc-1)a+2-b-c>bc-1+2-b-c =(6-1)(c-1) |6|<1, |c|<1 であるから 6-1<0, c-1<0 ゆえに (b-1)(c-1)>0 したがって abc+2>a+b+c LOWEE B612 大小比較差を付 XOMP-1<a<1, -k ① 結果を使う ( 1 ) の不等式で a を bをcにおき換え ab+1>a+bの cを加える。 ◆大小比較差を作 <>-1<bc<1 361006 α<1 の両辺に、 bc-1 を掛ける。 199 is Jeless