（1）を数学的帰納法で解くとどうなりますか？教えていただけると助かります。

578 重要 例題 127 分数形の漸化式 (1) an-9 a1=1, an+1= an-5 で定められる数列{a}がある。 00000 (1) すべての自然数nに対してanキ3であることを示せ。 1 an-3 (2) bn= とおくとき, bn+1 をbm で表せ。 また, 一般項 αn を求めよ。

こちらの解き方と答えを教えていただきたいです。 背理法？だと思います。

以下のA,Bに当てはまる整数を答えよ. 解答 のみを回答して下さい . (配点:A4点, B3点) 数学的帰納法は証明手法の一つであり, 自然 数に関する命題Pが全ての自然数について成立 することを証明するのに、 次の手続きを行う: 1. 命題Pが自然数Aに対して成立することを示 す, 2. 命題Pが自然数kに対して成立すると仮定し て, 命題Pが自然数k+Bに対して成立することを 示す. 以下のCに当てはまる語句を答えよ。 解答の |みを回答して下さい. (配点:C3点) 背理法は証明手法の一つである. 命題Pが成 |立することを証明するのに,次のような論法で ある : 「命題Pが成立しない」 と仮定して正しく議 論を進めて,Cを導く. そうすることによっ て,「命題Pが成立しない」 という仮定は誤り であり,命題Pが成立すると結論するものであ る。

なぜ有理化しているんですか

46 重要 例題2 漸化式と極限 (はさみうち) 00000 {an} について,次の(1),(2),(3) を示せ。 0<a<3,+1=1+√1+an (n=1,2,3, …………) によって定められる数列 [類 神戸大] (1) 0<an 3 (2) 3-an+1 < (3-an) 1 3 (3) liman=3 n→∞ % p.33 基本事項 3.基本15 CHART & THINKING 求めにくい極限 はさみうちの原理を利用 漸化式を変形して,一般項 αn をnの式で表すのは難しい。 小間ごとに,どのような方針を とればよいのか考えてみよう。 (1) すべての自然数nについての成立を示すから,数学的帰納法を利用。 そのために, 何 を仮定すればよいだろうか? (2)(1)の結果を利用。与えられた漸化式をどのように使えばよいか考えてみよう。 (3)(1), (2) で示した不等式を利用し, はさみうちの原理を用いる。 数列 {3-αn} の極限を 求めればよい。 はさみうちの原理 すべての自然数nについて an ≦ のとき liman=limbn=α ならば limcn=α 818 n18 →∞ (2)の不等式は繰り返し用いる。 どのように利用すればよいか考えてみよう。

数学的帰納法：式変形 画像１枚目 問 画像2枚目 解答 (1)で赤ﾗｲﾝから青ﾗｲﾝへの変形方法が 分かりません 🙇🏻‍♀️՞

□ 94 *(1) n は自然数とする。5"+1+62"-1 は 31 で割り切れることを,数学的帰納 法によって証明せよ。 (2)は2以上の自然数とする。 2"-7n-1 は49で割り切れることを数 学的帰納法によって証明せよ。

数学的帰納法： 画像１枚目は数学的帰納法で等式を証明する際の 手順だと解釈しています。 画像の3点に間違いや補足が必要であれば , 教えて頂きたいです 🙇🏻‍♀️՞ また画像2枚目なのですが , 画像１枚目の解釈では理解出来ない問題でして , , ・Ｎ=１をどこに代入す... Read More

n=1のとき、左辺は第1項目を書き、 右辺はn=1をんに代入して整理 nkのとき、両辺に水を代入 k+1項目 n=ktのときnokを代入したものの両辺に項を1つ加える

①の式にn=1を代入したとき、a^n-2とかに代入するとa^-1とかがでてきて、f1(x)=ax+1にならなくないですか？ 解説をお願いします🙇‍♀️

練習 xの関数f(x)=ax+1(0<a<1) に対し, f(x)=f(x),f(x)=f(f(x)),fs(x)=f(f(x)), 100 fn(x)=f(f(x)) [n≧2] とするとき, fn(x) を求めよ。 f(x)=ax+1 から [HINT チェ (x),チョ(x),...... 2(x)=f(f(x))=a(ax+1)+1=ax+a+1と順に求めると,f(x) f(x)=f(f(x))=a(a'x+a+1)+1=ax+a2+α+1 したがって,自然数nについて(エ)(ロ ① であると推測できる。これを数学的帰納法で証明する。( [1] n=1のとき f(x)=ax +1であるから fn(x)=a*x+a^-1+a" - 2 + ..... +a+1 [2] n=kのとき ①が成り立つ, すなわち f(x)=ax+α+α2+... +α+1 であると仮定すると fk+1(x)=f(f(x))=af(x)+1 の形が推測できる→ その推測が正しいことを 数学的帰納法で証明。 =ak+1x+a+αk-1 ++α+1 るき よって, n=k+1 のときも ①は成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立つ。 したがって f(x)=a*x+a"-1+a"-2+......+a+1 1-a" =a"x+ 1-a 初項1,公比 a (a≠1) の等比数列の初 項から第n項までの和。

（3）で第2項が18となっていますが3と18の間に項が存在しないとわかったのはなぜですか...？教えて頂きたいです。

総合 8 x. についての方程式x2-6xy+y2=9 ...... (*) に関して x,yがともに正の整数であるような(*)の解のうち, yが最小であるものを求めよ。 (2) 数列 (1, 2, 3, 漸化式 an+2-6am+1+an=0 (n= 1, 2, 3, ...)を満たすとする。 このとき,(x,y)=(an+1, an) が (*) を満たすならば,(x,y)=(n+2,n+1) も (*)を満た すことを示せ。 (1)y=1のとき,(*)は [千葉大 ] ⇒ 本冊 数学 B 例題 57,58 ←x²-6x・1+1=9 (3)(*)の整数解 (x, y) は無数に存在することを示せ。 x2-6x-8=0 よって x=3±√17 このxの値は不適。 y=2のとき,(*)は よって ←解の公式を利用。 x2-12x-5=0 ←x-6x・2+22=9 総 x=6±√41 このxの値は不適。 y=3のとき,(*)は x2-18x=0 ←x²-6x3+32=9 よって x(x-18)=0 x0 とすると 1001 x=18 したがって, 求める (*)の解は (x, y)=(18, 3) (2) (x,y)=(an+1, an) が (*)を満たすから (*)に解を代入。 an+12-6an+1an+an²=9 数列{an} は an+2-6an+1+an=0を満たすから よって an+22-6an+2an+1+an+120s+ an+2=6an+1-an (P(B)-PA X))-(X)D -(I+8)00as (1-6-=(6an+1-an)2-6(6An+1−an) an+1+an+1² 100 ←an+2=6an+1—An &ft =an+12-6an+1an+an2 ①から an+22-6an+2an+1+an+1=9 したがって, (x, y) = (an+2, an+1) も (*) を満たす。 (1+0) 入。 B (3)(1),(2)の結果から, n=1,2, に対して、数列{a} を α1=3, a2=18, an+2-6an+1+αn=0 ...... ...... ← (1) より, により定めると, すべての自然数nに対して, (x, y) = (an+1,an) は (*)の解である。 (x, y) = (az, a) は を満たすから,(2) よって、②で定められる数列{an} の各項がすべて互いに異な る整数であれば, (*) の整数解は無数に存在する。 -100より (x, y) = (a3, az) も(*)を満たす。 このことを繰り返す。 +8=000 以下,②で定められる数列{an} について すべての自然数n に対して an, an+1 はともに整数 かつ 0<an <an+1 ③ ←②から an+2=6an+1-an 60 これから③の不等式が 思いつく。 が成り立つことを数学的帰納法により示す。 [1] n=1のとき a=3, a2=18 から, ③は成り立つ。 [2] n=kのとき,③が成り立つと仮定すると, ak, ak+1 はと もに整数で 0<an <ak+1 n=k+1のときを考えると,② から ak+2=6ak+1-ak ak, ak+1 は整数であるから, ak+2 は整数である。 $200M-( ak+2-ak+1=(6ak+1-ak-ak+1=54k+1-ak また =(() ここで, 0<ak<ak+1 から 0<ak<ak+1 <5ak+1 (1-n)s(a) よって 5ak+1-ak0 ゆえに ak+1 <ak+2 JA よって、n=k+1のときも ③は成り立つ。

数列の問題なのですが（1）で帰納的に整数係数の〰︎︎とありますがどういうことでしょうか？そうなると証明されていないのに勝手に利用して良いのですか...？教えて頂きたいです。

総合 nを正の整数とし,次の条件(*)を満たすxについての次式Pn(x) を考える。 4 (*) すべての実数0に対して cosno=Pn(cos0 ) (1) n≧2のとき,Pn+1(x) をPn(x)とP-1(x) を用いて表せ。 (2) Ph(x)のx”の係数を求めよ。 (3)coso= 1 10 とする。 101000 cos” (5009) を10進法で表したときの, 一の位の数字を求めよ。 -18-48) [早稲田大 →本冊 数学B 例題 55 (1) cos(n+1)0=cos(n0+0)=cosnocoso-sinnQsin O (←加法定理 cos(n-1)0=cos(no-0)=cosnocos0+ sinn0sin O よって cos (n+1)0+cos (n-1)0=2cos nocoso 1 (1+税)- ゆえに cos(n+1)0=2cosocosn0-cos(n-1)0 - よって Pn+1(x)=2xPn(x)-P-1(x) (n≧2) ...... ① (2) Pi (x)=x cos 20=2cos20-1 から a1=1, a2=2+ また, ① において,最高次の項の係数を比較すると an+1=2an (n≧2) これらと① から, Pn(x)は帰納的に整数係数の次式といえる。 Pn(x) の最高次 x ” の係数を an とすると P2(x)=2x2-1) + P2(x):2次式, ゆえに, 数列{an} は初項 1,公比2の等比数列であるから an=1•2"-1=2n-1 30G ←P+1 (cos0) =2cosQPn(cose) -PR-1(cos) n- ←P, (x):1次式, P2(x):2次式から, P3(x)は3次式である。 P3(x) : 3次式から, P4 (x)は4次式である。 == (S) 100

Math B ﾗｲﾝを引いたところの 式の意味が分かりません > < 📋：ﾍﾞｽｱﾝ必ずつけさせて頂きます ご回答よろしくお願いします🙇🏻‍♀️՞

応用 | 例題 7 小寺式の証明 不等式 2"> 2n+1を, 数学的帰納 は3以上の自然数とする。 法によって証明せよ。 解説 3であるから, 次のことを示せばよい。 [1] n=3のとき, 不等式が成り立つ。 [2] k3として, n=kのとき不等式が成り立つと仮定すると, n=k+1のときにも不等式が成り立つ。 証明 この不等式を ① とする。 [1] n=3のとき 左辺 =23=8, 右辺 =2・3+1=7 よって, n=3のとき, ①は成り立つ。 [2] k≧3として, n=kのとき ①が成り立つ, すなわち 2k>2k+1 ② と仮定する。 n=k+1のとき, ①の両辺の差を考えると 左右田 ②から - 2k+1_{2(k+1)+1}=2・2-(2k+3) 2.2kー(2k+3)>2(2k+1)-(2k+3) =2k-1>0 ←k≧3から よって すなわち 2k+1_{2(k+1)+1}>0 2k+1>2(k+1)+1 よって, n=k+1のときにも ① は成り立つ。 [1], [2] から, 3以上のすべての自然数nについて ① は成 り立つ。 終

数学的帰納法 (2)について教えていただきたいです。 緑の線がどうしてこうなるのか分かりません💦