判別式を用いる2変数関数の最大最小の問題はメジャーですか？tで置き換えて判別式で求める方法があまりしっくりきません。

重要 例題 1192変数関数の最大・最小 (4) 00000 実数x,yがx2+y2=2 を満たすとき, 2x+yのとりうる値の最大値と最小値を 求めよ。 また,そのときのx,yの値を求めよ。 [類 南山大] 基本98 指針 条件式は文字を減らす方針でいきたいが,条件式x2+y²=2から文字を減らしても, 2x+yはx,yについての1次式であるからうまくいかない。 そこで, 2.x+y=tとおき, これを条件式とみて文字を減らす。 計算しやすいように y=t-2x としてyを消去し, x+y2=2に代入すると x2+(t-2x)=2となり,xの2次方程式になる。 この方程式が実数解をもつ条件を利用すると,tのとりうる値の範囲が求められる。 実数解をもつ⇔D≧0の利用。 CHART 最大･最小=tとおいて, 実数解をもつ条件利用 解答 2x+y=tとおくと y=t-2x... ① これを x2+y2=2に代入すると 整理すると 5x²-4tx+t2-2=0...... ② このxについての2次方程式 ② が実数解をもつための条件は, ②の判別式をDとすると D≧0 ここで 2=(-2t)²-5(-2)=-(-10) 4 x2+(t-2x)=2 D≧0から t²-10≦0 これを解いて -√10 ≤t≤√10 t=±√10 のとき D = 0 で, ② は重解x=- t=±√10 のとき x=± したがって x= 2√10 5 x=1 2√10 5 2√10 5 '10 y= 5 y=- -4t 2.5 2t 2/4 をもつ。 5 √10 ① から y=± 5 (複号同順) √10 5 のとき最大値 10 のとき最小値-√10 参考 実数 a, b, x, y につ いて,次の不等式が成り立つ (コーシー・シュワルツの不 等式)。 (ax+by)³s(a+b) (x² + y²) [等号成立はay=bx] a=2, b=1 を代入すると (2x+y)=(2+12)(x2+y²) x2+y²=2 であるから (2x+y)^2≦10 よって -√10 ≤2x+y≤√/10 (等号成立はx=2yのとき) このようにして、左と同じ答 えを導くことができる。 187 3章 13 2次不等式

最後のXの範囲を求めるところなのですが、私は相加・相乗平均を利用してX≧2√2と出しました。 しかしこれではX≦-2√2が出せません... どうして相加・相乗平均が使えないのか教えて頂きたいです。

EX 113 交点をもつ 座標平面上に点A(-3, 1) をとる。 実数tに対して、直線y=x 上の2点B, Cを ⇒平行×、交わる Q. 数学C219 に分けて考える B(t-1, t-1),C(t, t) で定める。 2点A, B を通る直線をlとする。 点Cを通り,傾き1の 直線をとする。 直線lとmが交点をもつためのtの必要十分条件を求めよ。 tが (1) の条件を満たしながら動くとき, 直線lとmの交点の軌跡を求めよ。 直線lとmが交点をもつための条件は、直線ℓとmが平行 ←点B,Cは一致しない から lとmが一致する ことはない。 ya にならないことである。 t-1=-3すなわちt=-2のとき,直線l の方程式は x=3 ←ていたら傾きを求める式が 成り立たないからと 直線はx軸に垂直な直線ではないから m 2 は平行にならない。 m キー2のとき,直線ℓの傾きは t-1-1 t-1-(-3) 直線l と が平行にならないための条件は すなわち t=0 以上から、求める必要十分条件は (2) 直線の方程式は y-t=-(x-t) すなわち y=-x+2t [1] t=-2のとき､直線の方程式はy=-x-4となり,直線lがx軸に垂直 な場合。 x=3のとき y=-1 よって, 直線l m の交点は 点(-3,-1) [2] tキー2のとき, 直線lの方程式は y-1= すなわち ① ② から -x+2t= tx=t2+2 y= t=0 であるから ゆえに よって, ① から 1-2(x+3) t+2 t-2 t+2x+ 4(t-1) t+2 t-2 ++2x+ x=t+- y=. t=0 xi-y2=t+ (2) 4(t−1) t+2 t-2 t+2 2 - (1 + ²) +21=1 - ² t=t- t t-2 t+2 17 (1 + ²/² ) ² − ( 1 - ²)² = 8 キ-1 として整理すると とかくにん -=-3, y=t--=-1となる。 t=-2のとき, x=t+ したがって,直線ℓとmの交点の座標を(X,Y) とすると t x=1+12, Y=1-2 (200 ・人が消える方法を 考える e ここで,tはt≠0 の範囲を動くから,X=t+= となる実数 t (0) が存在する。 [大阪府大 th ti -30 t-11 y=x ←t=-2はこの条件に 含まれる。 ←直線lがx軸に垂直 ではない場合。 ← ① ② を連立して解く。 ←t=0 は lとmが交点 をもつための条件。 y=t- ←x=t+2. t' はt=-2の場合も成り 立つ。 ←tが消える。 2 4章 EX [式と曲線]

この等号成立がどうしてこうなるのか分からないです

12. x>0,y0,z0であるとき、 1 ( ²1/12 + + + + + 1/2 ) ( ² + + 1²/2) I Z の最小値は である。 (x+2y + 4z ) ( 17 大阪経大)

数Ⅱの不等式の証明です。 この問題を解くに当たって、相加相乗平均の大小関係を用いるらしいのですが、どのようにすれば解くことができるのかわかりません。 解説よろしくお願い致します。

14 x,yを正の実数とするとき, 不等式 うなときか。 ( 25点) 2 ≦√xy を証明せよ。 また, 等号が成り立つのはどのよ + 1 1 + x 3 [ 東京海洋大]

相加・相乗平均は、ある2数がどちらも＞0を満たすような数であれば、どのような場合でも使うことが出来るのですか？

相加平均と相乗平均の大小関係の式はいつ使いますか？

関数の増減と極大・極小の問題です！ 教えていただけると嬉しいです！

12 (1) 高さ1m の絵が垂直な壁に掛けられていて, 絵の下端は床から2mの高 さにある。目の高さがん [m] (h2)の人が壁からx [m] 離れて絵を見上げると き,絵の上端と下端を見る角度の差0が最も大きくなる x を求めよ。 (2) h=1.8のとき, 0 の最大値とそのときのxの値を求めよ。

0＜θ＜πの範囲で、 1/tanθ+1/tan(π/2-θ) が最小になるθの値を教えて欲しいです

131の青い線で囲ったところの計算の仕方を教えて欲しいです。

底2は1より大きいから (2) 不等式の左辺を因数分解すると a>0 であるから 1 -2a<x< ¹ ...... 2 a ①を満たすすべての xが②を満たす, すなわち①の範囲が の範囲に含まれるための条件は 2a≦l かつ 31 3: a>0 であるから <as EX @131 の最小値を求めよ。 x+3y=3 から よって EX ③132 3y=3-x (x+2a) (ax すなわち 1 3 このとき y=1-1-2/2 = 1/201 3 3 よって, 2X +8はx= y= 2' 2'+8"=2'+2Y =2x+23-x 2* 0, 23-x>0 であるから, 相加平均と相乗平均の大小関係に より 2+23-x≧2√2x2x=2√234/2 3 等号は, 2^=23-x すなわち x= のとき成り立つ。 2 as 点(x,y) が直線 x+3y=3上を動くとき, 2*+8 の値を最小にする x,yを求 1 で最小値 42 をとる。 1<a<b<a² のとき, logab, logba, loga( logo loga a<loga b<loga a² a 0, a<b<a² の各辺は正であるから,各辺のαを底とする対数を とると, α>1より -2a 2. -2a< ではない ことに注 口底を yを a>0 a a=b 1を小さ

高2の数学、式と証明の問題なのですが 答案集を見てみても理解できません。 問題9の部分です。 解答解説お願いします🥲

9 11 13 次の等式を証明せよ。 (1) x2+ x ² + 1 = = ( x + 1) ² - 2 x2 10 a+b+c=0 のとき, 次の等式を証明せよ。 a2+b2+c²+2(ab+bc+ca)=0 14 15 b 問題 ma+nc a mb+nd b のとき,次の等式を証明せよ。 第2節 等式・不等式の証明 = (2) x1+1/12-(x+1/22-3(x+1/24) =√x+ 12 a<b,x<y のとき, ax+by と bx+ay の大小を, 不等号を用いて 表せ。 p.33 (2) x>2のとき, x+ きのxの値を求めよ。 1 x-2 ときのxの値を求めよ。 39 (2) √abz (a +26) (¹ + ²) 29 p.28 a> 0, b>0のとき、次の不等式を証明せよ。 また, 等号が成り立つ ときを調べよ。 → p.3! (1) √2(a+b) ≥√√√a+√b 2ab a+b xC → p.29 → p.30 a> 0, b>0のとき,次の不等式を証明せよ。 また, 等号が成り立 → p ときを調べよ。 次の問いに答えよ。 9 (1) x>0 のとき, x+-の最小値を求めよ。 また, 最小値をと の最小値を求めよ。 また, 最小値を