重要 例題 58 剰余の定理
(1) f(x)=x-ax+b が (x-1)2 で割り切れるとき,定数a, bの値を
EX
A
めよ。
(2) 2以上の整数とするとき, x"-1 を (x-1)2で割ったときの
[ 学習院大 ]
を求めよ。
CHARTO SOLUTION
割り算の問題 基本公式 A=BQ+R を利用
2② 余りには剰余の定理
(1)
次数に注目
(x-1)2で割り切れるf(x)=(x-1)2Q
⇒ f(x)がx-1で割り切れ、更にその商がx-1で割り切れる。
(2)次の恒等式を利用する。 ただし, nは自然数とし, d=1, 6°=1 である。
a"-6"=(a-b)(a^2+a-26+α-362++ab+b^-1)
cata² + ab + 12 2015
-a a-1 B
解答
(1) f(x) は x-1 で割り切れるから
よって
1-a+b=0_
ゆえに
したがって f(x)=x-ax+α-1
ゆえに
g(x)=x2+x+1-a とするとg(1)=0の
3-α=0
a=3
よって
ゆえに
これを①に代入して b=2
D(S-x)=
(2) x1 2次式(x-1)2で割ったときの商をQ(x), 余り
をax+b とすると,次の等式が成り立つ。
x-1=(x-1)2Q(x)+ax+b
両辺にx=1 を代入すると
0=a+b
-²x£=(x)¶_‚$
11-a+1
=(x−1)(x²+x+1−a) S8 SaS.8—($)%)
条件から,g(x)
で割り切れる。
よって
= 0
(1)
b=a-1… ①
afn 15-a
x-1=(x-1)^Q(x)+ax
xxa
=(x-1){(x-1)Q(x)+α}
x-1=(x-1)(x-1+x"-2+..+x+1) であるから
√x²-¹ + x²-² +
両辺にx=1 を代入すると
よって
a=n
したがって、求める余りは
ゆえに
+ x + 1 = (x=1) Q(x) + a
1+1+ ······ +1+1=a
b=
nx-n
PRACTICE・･・・ 58 ④
(1)a,bは定数で、xについての
このとき
a=-n
10
h=a=
11-a+1
-b
= A=BQ+R
-xa-5-
0
割り算の基本公式
(x-1)²Q(x)+ a(
1=xであるから
の数はか
でのn個
H
