軌跡(Ⅲ)
45 軌跡 (Ⅲ)
tが実数値をとって変化するとき, 次の関係式をみたす
点P(x, y) の軌跡を求め, 図示せよ.
(1)
x=2t+1
y=6t+2
(2)
x=lt]+2
y=t²
(3)
x=cost-1
y=sint+1
(0°t≦90°)
精講
変数で表されている点P(x, y) の軌跡は次の手順で考えていき
ます。
Ⅰ. 動く点を (x, y) とおく
Ⅱ..„の関係式を求める
すなわち,z, 以外の変数(ここではt) を消去する.
III. xやyに範囲がつかないか調べる
注 変数tのことを媒介変数, または パラメータといいます。
解 答
x=2t+1・・ ①
・①
(1)
ly=61+2··· 2
①×3-② より
tを消去
YA
3r-y=1
2
よって, 求める軌跡は
また,①' において, 0 だから,2
よって, 求める軌跡は
放物線の一部 y=(x-2) (x≧2)
また, グラフは右図。
2
IC
注 放物線はxに範囲がつけば,yの範囲を考え
る必要はありません。
x=cost-1
(3)
より
Ly=sint+1
x+1=cost ...... ①
2
①+② より
ly-1=sint ...... ②
(z+1)+(-1)=cos't+sin't
. (x+1)+(y-1)=1 ( cos't+sin't=1) かくれた条件
また,
costs, sint1より,
-1≤x≤0, 1≤ y ≤2
よって, 求める軌跡は
円弧 (x+1)+(g-1)=1
(-15x50, 15y52)
また, グラフは右図。
注 円はェの範囲だけでは不十分です。
YA
2
①
1
0
の範囲も考えなければなりません。
また,(3)のように、 媒介変数を消去するときには, かくれた条件
(sin't+cos't=1) を使うことがあります。 気をつけましょう。
