「つ」
306
308 数学的帰納法 〔3〕 ... 不等式の証明(2)
4以上の整数とするとき, 数学的帰納法を用いて次の不等式を証明せよ。
2" <n!
自然数nについての等式、不等式の証明は数学的帰納法を考える。
味の言い換え
[1] n=4のときに ① が成り立つことを示す。
( ① の左辺)
(①の右辺)
[2] 「n=kのときに ① が成り立つと仮定すると, n=k+1 のときにも ① が成り立つ」
ことを示す。
n=kのときの不等式 2 < h! が成り立つと仮定。
⇒n=k+1のとき
n=4 をそれぞれに代入して
(左辺) (右辺) を示す。
(k+1)! -2k+1
= (k+1)k!-2k+1 > (k+1)-2+1 = ... > 0
仮定の利用
<<Action 数学的帰納法では,n=k+1 のときの式の複雑な部分に仮定の式を用いよ
[1] n=4のとき
(左辺) = 24 = 16,
(右辺)=4!= 24
左辺) (右辺)であり, ① はn=4のとき成り立つ。
[2] n=k(k≧4) のとき, ① が成り立つと仮定すると
2<k!
n=k+1 のとき
(右辺) (左辺) (k+1)! - 2k+1
=
= (k+ 1)k! - 2k+1
> (k+1)22k +1
=2^{(k+1)-2}
k≧4であるから
nは4以上の整数である。
=2(k-1)
2^(k-1)>0
2k+1 < (k+1)!
よって
ゆえに, ① は n =k+1 のときも成り立つ。
[1],[2] より,4以上のすべての整数nに対して成
り立つ。
4以上の整数について命
題が成り立つことを証明
する場合は,まず [1] と
してn=4のとき成り
立つことを示す。
特訓
2
例題 306
(右辺) (左辺) > 0 を示
す。
仮定した不等式を用いる
ためにk! をつくる｡
(k+₁) £! - (2²
> (E11) 21-1-2
(7-1) £!
308nが4以上の整数とするとき, 次の不等式を証明せよ。
3n > n³ ... 1
6章 化式と数学的帰納法
条件 k≧4 を忘れないよ
うにする｡
18
(宇都宮大)
p.519 問題308
509
