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Mathematics Senior High

40. x=αと置いた理由ってこういうことですか? (赤で書いたところ)

70 00000 重要 例題 40 係数に虚数を含む2次方程式の解 x の方程式(i+1)x²+(k+i)x+ki+1=0 が実数解をもつとき, 実数kの値を めよ。 ただし, =-1 とする。 類 専修 指針▷実数解をもつことから, 判別式D≧0を利用したいところだが,判別式が使えるのは, 係数が実数のときに限る。 そこで, 実数解をαとして (i+1)a²+(k+i)a+ki+1=0 えについて整理して (a²+ka+1)+(a2+a+k)i=0 ここで,複素数の相等条件 A,Bが実数のとき A+Bi=0⇔A = 0, B=0 ROO を利用する。 解答 方程式の実数解を x =α とすると (i+1)a²+(k+i)a+ki+1=0 iについて整理すると a2+ka+1, α² + α + k は実数であるから a²+ka+1=0 (a²+ka+1)+(a²+a+k) i=0 1, a²+a+k=0 ① ② から よって (k-1)(a-1)=0 [1] k=1のとき, ①, ② はともに a2+α+1=0 判別式をDとすると D<0であるから, αは虚数解となり,条件に適さない。 [2] α=1のとき, ② から k=-2 これは ① も満たす。 したがって k=-2 別解 [①, ② を導くところまでは同じ ] ②から 3 (k-1)a+1-k=0 よって このとき, ③から k=-a²-a ① に代入して整理すると a³-1=0 (a-1)(a²+a+1)=0 (2) ゆえに k=1 または α=1 ...... ゆえに a は実数であるから+α+1=(a+2/12/2)+1/12/3 20 α > α-1=0 すなわち α=1 k=-2 基本35 立 TRAHO A,Bが実数のとき A+Bi=0 D=12-4・1・1=-31 + sl- (実数αに対して① (a + ²/2 ) ² + + ²³²/ > 0 であることから,示しても よい。 A |⇔A=0,B=0.0 POL 0 SN FR TR- これは, 高次方程式 ( α の3 次方程式)。 高次方程式の解法は, p.95 以後を参照。 Hot 検討 判別式が使える条件 2次方程式 ax2+bx+c=0の解の種類を判別するときは, 判別式D=62-4ac を利用して考え るが,そのとき, 係数 α, b,cが実数であるという条件を忘れてはいけない。 例えば, 方程式ix2+x=0 に対し, 判別式を適用するとD=12-4•i•0=1>0であり しかし 方程式を解くとx=0であり

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Mathematics Senior High

248. 記述で解くにしても自分が理解できていたら 解答のように詳細を書く必要はないですよね??

376 基本例題 248 絶対値を含む関数の定積分 (1) S'x2dx を求めよ。 指針 絶対値記号がついたままでは積分できない。 そこで,まず, 絶対値記号をはずす。 -A (A≦) 定積分の計算では、等号を 絶対値 場合に分ける |A|= 141={-A A (A≥0) 両方の場合に付ける。 B をはずしたら、定積分の性質 Sof(x)dx=Sf(x)dx+S f(x)dx(積分区間の分 x-2 (②2)x+x-2|=(x+2)(x-1)|={ (*) (2) |x2+x-2|=|(x+2)(x-1)| 解答 (1) 1≦x≦2のとき |x-2|=-(x-2) 2≦x≦4のとき |x-2|=x-2 Slx-2|dx=$((x-2)}dx+∫(x-2)dx --[-2]+[-2] =-{(2-4)-(12-2)+(8−8)-(2-4)=1/27 - を利用して計算する。つまり,||内の式の正負の境目で積分区間を分割する。 (x-2)(x≦2) Pagalds (1) |x-2|= であるから,区間を1≦x≦2と2≦x≦4 に分割。 (2≦x) DECRIVAN &F! [-(x2+x−2)(−2≦x≦1) (2) Sox2dx を求めよ。 (x≤-2, 1≤x) + ³x 積分区間 0≦x≦2にx=1が含まれるから、区間を 0≦x≦1と1≦x≦2に分割して計算 する。 -|(@_21_m)-8- (S+x)^(1-2) 3 [F(x)]+[F(x)]=-2F(3 I=SOCSODEK 練習 次の定積分を求めよ。 (2) ② 248 (1) Solx2ー3x+2|x であるから p.358 基本事項 D CAROLI -6x²+9x)}dx -6x³+(9-7) 8 (*) --( 13 + 2-2) × ² + ( 3+2-4) - -- 2x とすると, F(0)=0 であり, 定積分は =-2F(1)+F (0)+F(2) の計算になる。 (2) 5 1≦x≦2のとき |x2+x-2|=x2+x−2 であるから lx2+x-2|dx={(x2+x−2)}dx+)(x²+x-2)dxを満 -- [5 + € -²1 + [5 +5² - ²x] x3 x² 3 == 2x 3 2 3 -2x 2 (1) (2) 0000 を表す。 問題の定積分は,それぞれ 塗った部分の yA 2 XX 2 1 O 12 SAS ELETROSA 重要 249 0 12 4 12. 25 -2 指 E g( 口 [1 ④ [2 0 [3] J のし 以上 xt d した

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