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12 媒介変数表示された曲線
x=sint
xy 平面上において,媒介変数 t (OSIS 2/27)によって
オ) によって {sin
と表される曲線をCとする。
ly=1-cos3t
(1) C上の点でx座標が最大になる点Pとy座標が最大になる点 Qの座標をそれぞれ求めよ.
(2) Cとx軸で囲まれた図形の面積を求めよ.
(熊本大医/一部省略)
Y
C:y=H(x)
t=1
媒介変数のまま積分 曲線C上の点が (x, y) = (f(t), g(t)) と媒介変数表
示されていて,0≦t≦1での概形が右図のようであるとする.Cをy=H(x)と表せ
ば,網目部の面積はSH (x) dz であるが,H (z)が具体的に書けない,あるいは積
分計算ができないときは, x=f(t) と置換しての積分にする. 定め方から
H(f(t))=g(t)dx
0
ax
|t=0
dt
=f(t)なので,面積はSog(t)f'(t) dt と書ける。 例題では,ェはtに関して単調
ではないので,単調な区間に分けて立式しなければならないが, 計算 (tで積分する式) は1つにまとめて行う
ことができる。
(
興課)
解答
xyの増減とCの概形は右
のようになる.
gol-1
(1) P(1,1)
(Q
Q(√332)
π
π
t
0
:
8
0
33
7√3/27
21
|2|3|3
YA
π
2
√3/2
C gol
y
0 7
2
1
0
1
P(t=)
π
π
(2) Costs の部分が,y=y(r), ts/
πの部分が
√3
2
(t=0)
2
y=y2(x) と表されるとすると, 求める面積は
=)(1)=(
0x gol is
0-2
2
･･①
=(x)
gal
(
dx
-=cost より
dt
xが単調な区間に分け, 一度,関
数型の式を書く.
(S
π
←
S² 41(x) -
(土)
dx
-dt などとなる.
dt
π
2
π
+
としてまとめる.
+10
積
和の公式
登録
cos A cos B
sint と置換すると, y1(x)=y2(x)=1-cos3t,
π
π
2
①= (1-cos3t) costdt-J (1-cos3t) costdt
=J
2
3
(cost-cos3tcost)dt
= { cost- (cos 4t + cos 2t)}dt
2
2
-[sint-1-sin 41-1 sin2+ |*
√3
2
8
4t--
√3
1
4.
sin2+(D)
9
1 √3
4
2
16
11
8 2
-√3
(E)
{cos (A+B)+cos (A-B)}
