数3 微積 写真の問題の(1)について質問です。 ①私の回答の黄色い線を引いた部分ように定積分の部分をaと置いて解くことはできますか？また、できないなら、なぜできませんか？ ②答えの黄色い線で丸した部分がなぜそうなるのかわかりません。 教えてくださると助かります🙇‍♀️

270 定積分で表された関数の最大・最小 微分可能な関数 f(x) は等式 f(x)=-efff(t) dt を満たすとする。 (1)g(x)=f(x) とするとき, g'(x) =1であることを示せ。 (2) f(x) を求めよ。 (3) f(x) の最大値を求めよ。 (奈良女大)

同一直線上にないと言えるのはなぜですか？

と次のようになる。 ない。したがって、そのグラフを平行移動 =f(x) のグラフ C に重ねることはできな lで囲まれた2つの部分の面積の和に等 一致するとき,すなわち, 3 α,すなわち, a=−6 のとき,U=T 10000g (©) eners (x) とすると,余りはr(x) であるから FF [F _(s) =ri (u) であるから,y=r(x)のグラ ■, h(u)) をすべて通る。 しいものは④である。 するための方法として 「導関数を とき )は (n-2)次以下の整式または 0 2次以上低い整式または0にな することができる。 (x) を3次式 (x)で割った余り ri(x)は2次以下の整式か 0, すな わち, y=ri(x) のグラフは放物線, 直線のどちらかである。 ここでは h(x) =0が異なる3つの実数解を もつから 4次関数ん (x) は極大値 と極小値をもち, それらを与える y=(x)のグラフ上の3点は同一 直線上にはない。 よって、 その3点 を通るy=r(x) のグラフは直線で はなく放物線である。 (0)

(2)について質問です。 赤線部のように分かるのは何故ですか？🙏

152 基礎問 96 接線の本数 曲線 C:y=x-x 上の点をT(t, ピーt) とする. (1)点Tにおける接線の方程式を求めよ. (2)点A(a,b) を通る接線が2本あるとき,a,bのみたす関係式 を求めよ.ただし,a>0, b≠α-a とする. (3)(2)のとき、2本の接線が直交するようなa, 6の値を求めよ. 精講 (2) 3次関数のグラフに引ける接線の本数は,接点の個数と一致し ます. だから、(1)の接線にA(a, b) を代入してできるtの3次方 程式が異なる2つの実数解をもつ条件を考えますが、このときの 考え方は 95 注で学習済みです。 (3) 未知数が2つあるので, 等式を2つ用意します。 1つは(2)で求めてあるので, あと1つですが, それが 「接線が直交する」 を式にしたものです.接線の傾きは接点における微分係数(34) ですから、 2つの接点における微分係数の積=-1 と考えて式を作ります. 解答 (1) f(x)=x-x とおくと, f'(x)=3x²-1 よって, Tにおける接線は, y-(t-t)=(3t-1)(x-t) 186 y=(3t2-1)x-2t3 (2)(1) の接線は A(a, b) を通るので b=(3t2-1)a-2t3 :. 2t-3at2+a+b= 0 …………(*) (*) が異なる2つの実数解をもつので, g(t)=2t-3at2+α+b とおくとき, y=g(t) のグラフが,極大値, 極小値をもち, (極大値)×(極小値) =0であればよい.95 注 g'(t)=6t2-6at=6t(t-a) g'(t)=0 を解くと, t=0, t=α だから y=x-x| (t,t³-t) A(a,b)

95下線部についてです。 ②③のグラフが接するとき、共有点は2個になると私は思い、 -(16√3)/9 < a < (16√3)/9と答えたのですが、 なぜ解答は -(16√3)/9 ≦ a ≦ (16√3)/9 と、<ではなく≦になっているのでしょうか？

① 異なる2つの実数解をもつ ②正の解1つと負の異なる解2つをもつ 13 (①の答えは,a=- 9 27' ②の答えは,0<a <9) (別解)(αをxと分離しないで求める方法) f(x)=x+5x2+3.x -a とおくと f'(x)=3x2+10x+3=(x+3)(3x+1) a 151 1 よって, x=-3, 3 で極値をとる. y=f(x) f(x)=0 が異なる3つの実数解をもつとき y=f(x) (極大値)×(極小値) < 0 ƒ(-3)(-)<0 注 N DC よって、(-a+9)( a+9) (-a-137) <0 :. (a−9) (a+13) <0 27 - 13<<9 27 この解答は,以下のことを利用しています. xはf(x)=0の解xは y=f(x)とx軸の交点のx座標 3次関数 y=f(x) が 極値をもたない 実数解 1個 (極大値)×(極小値) > 0 極値をもつ(極大値)×(極小値) = 0･･･実数解 2個 (極大値)×(極小値) <0･･･実数解 3個 第6章 ポイント 定数を含んだ方程式の解はf(x)=αと変形し, y=f(x) と y=aαのグラフの交点のx座標を考える 演習問題 95 αを実数とする. 3次方程式 となるようなαの値の範囲を求めよ. -4x+a=0 の解がすべて実数

（2）の表の黒く塗りつぶしているところに、0を入れてないのは何故ですか？0をかいていても⭕️になりますか？ また、表を埋めなくてもいい所をどのように判断すればいいのか教えて頂けると嬉しいです。埋めなくてもいい（答えのない）ところをずっと考えてしまいます。

0 基本 例題 219 区間における関数の最大・最小(1) 000 次の関数の最大値と最小値を求めよ。 また, そのときのxの値を求めよ、 (1)y=x-6x2+10−2≦x≦) (2)y=3x4x3-122 P.349 基本事項 ① 最大 最小 端もチェックであった。 1 (-15x 重要220 指針 区間における最大・最小については, 数学Ⅰ でも学んだ。その要領は、まず、 3次以上の関数についても要領は同じであるが, 関数の増減を調べるのに、 かいて 増減表の極値および端点の値のうち、最も大きな値が最大値、最も小さな値が 用する。 ①y の符号の変化を調べる 増減表を作る である。 なお、極大値・極小値が、 必ずしも最大値・最小値ではないということに すること。 CHART 最大 最小 極値と端の値をチェック ( (1) y=3x²-12x=3x(x-4) y=0 とするとx=0,4 解答 区間 −2≦x≦3におけるyの増減 y 最大10 表は、次のようになる。 3 34 x -2 20 y' + 0 - y -227 |極大] -17 < 最小値は 最小 -22 と17を比 よって 10 x=0で最大値10, x=-2で最小値 22 (2) y'=12x-12x2-24x=12x(x-x-2) =12x(x+1)(x-2) y=0 とすると x=-1,02 区間 -1≦x≦3におけるyの増減 表は、次のようになる。 x 0 *** 2 0 1 0 + y -57 極大 よって x=3で最大値 27, 727 x=2で最小値-32 極小 -32 27 最大 3 最大値は極 -32 端の値 27 最小 最小値は極 と端の値

赤丸の部分はなぜあのような式変形？になるのですか？

関数F(x) に対し, f(x) =F'(x) とする。 f(x)は2次関数であり,y=f(x)のグラフは 3点(-3, 0), (-2, 3), -1, 0) を通る。また, y=F(x) のグラフは点 (0, -1) を通る 3 という。 (1) f(x) = アイ (x+ウ)(x+)と表される。 ただし, [ウ, 答の順序は問わない。 (I) I の解 (2) y=F(x)のグラフの概形として最も適当なものを,次の①~④のうちから一つ選べ。 オ 0 y A O とすると x ① ② J Q N Ü N x x また,y=F(x) は x=カキのとき極大値クをとる。 (3) F(x)=f(t)dt+1 を満たすような定数kのうち,最小のものは k k=ケコー√サである。 J1-21:3 x ▷ p.1085, p.109 Z

次の(4)の問題で青線のところは何故平方完成しているのでしょうか？どなたかお願いします🙇‍♂️

次の関数の増減を調べよ。 また, その極値を求め, グラフをかけ (1) y=x-3x+1 (3) y = x +3x° + 3x +2 (2)y=3x +4 (3) y = 3x²+6x+3=3(x+1) y'=0 とおくとx=-1 よって, yの増減表は次のようになる。 -1 =3(x+1)^ のグラフ ✓ -1 1X J4) y=x+x+3x-2 1x4 X y' + 0 + 段階に分ける (3次関数のグラフのかき方) y 1> ① 導関数y' を求める。 1 ② y=0となるxを求める。 前後で増加減少が変わるxの候補 ゆえに、この関数はつねに増加し、 値をもたない。 -10 ③ 増減表をつくる。 の符号の変化を確認し、 また, グラフは右の図。 ④ 極大値, 極小値を求め, グラフをかく。 思考プロセス Action 》 関数の増減は、 導関数の符号を調べよ (1) y=3x²-3=3(x+1)(x-1) y'=0 とおくと x=±1 よっての増減表は次のようになる。 X -1 1 ... y' + 0 0 + y > 3 -17 ゆえに、この関数は y'=3(x+1)(x-1) のグ ラフ (4)y=3x°+2x+3=3(x+1/+1/8 x=-1の前後でy の符号は変わらないから, x=1で極値をとらない よってyの増減表は次のようになる。 x y' + y > ゆえに、この関数はつねに増加し、 値をもたない。 また, グラフは右の図。 74 のグラフ +

次の問題がよく分からないのですが青線はどこからきているのでしょうか？解説お願いします🙇‍♂️

練習 233 x≧0 を満たすすべてのxに対して, x-3x≧a(3x²-12x-4) が成り立つ定数αの値の 範囲を求めよ。 ただし, a<1 とする。 とおく。 f(x)=x-3x-α(3x12x-4) =x-3(a+1)x2 +12ax+4a f'(x) = 3x-6(a+1)x + 12a (慶應大) =3(x-2a)(x-2) f'(x) = 0 とおくと XC 0 x = 2a, 2 f'(x) + 20 a < 1より 2a <2 2 - 20 + よって, x≧0 の範囲で, f(x) f(x) || 4a 極大 極小 の増減表は次のようになる。 (ア) 0<a<1のとき 増減表より, x≧0 の範囲で f(x) ≧0 となる条件は f(0) ≧0 かつ (2) 0 f(0) = 4a≧0 より a ≥o f (2)=16a-4≧0 より a≥ 1 よって ≦a< 1 4 (イ) a≦0 のとき であるから,不適。 x 0 a≦0より f(2) = 16a-4 < 0 f'(x) (ア)(イ)より ≦a<1 4 f(x) || 4a - 0<a<1のときはf(0) とf (2) のどちらかが最 小値である。 2 ... a≧0 のときは f (2) が 0 + 最小値である。 極小

次の問題で青線までは分かったのですがそこからどの様にして図示するかがよく分からないのですがどなたか解説お願いします🙇‍♂️

点P(a, b) から曲線 C:y=x-3x に接線が3本引けるとき,P(a, b) の 存在範囲を図示せよ。 点P (α, b) の存在範囲 思考プロセス a -α ともの関係式を導き、 b>g(a) 横軸を α,縦軸を6とする座標平面に領域を図示する。 既知の問題に帰着 αとの関係式を導く考え方は例題 230 と同様である。 b=g(a) 《ReAction 接線の本数は, 接点の個数を調べよ 例題 230) 解 C上の点をT (t, ピー 3t) とおく。 Jay' = 3x2-3 より, 点Tにおける接線の方程式は 209 y-(t-3t)=(3t-3)(x-t) これが点P(a, b) を通るから b-(3-3)=(3t² - 3)(a− t) すなわち 2t3-3at2 +3a+b=0 …① 950 3次関数のグラフの接線は, 1本の接線に対して接点は必 230 ず1点に定まるから, 接線が3本となるための条件はもの 方程式 ①が異なる3つの実数解をもつことである。 f(t) = 2t3-3at°+3a + b とおくと f'(t) = 6t-6at=6t(t-a) f'(t) = 0 とおくと t = 0, a x = 0, y = b を代入する。 よって, 求める条件は a = 0 かつ f(0)f(a) <0 ① f3a+b>0 ① より, (a+b) (-d+3a+b) <0 l-a°+3a+6 < 0 f(t) は極大値と極小値を もつから、f'(t) = 0 は 異なる2つの実数解をも つ。 J3a +6 < 0 よって α≠0 または 1-a+3a+b>0 すなわち ∫b>-3a \b<a³-3a fb <-3a または \b> a³-3a このときαキリであるから, 64 b=a3-3a 曲線 b = 03-3αは 点P(a, b) の存在範囲は右の図の斜 2 線部分。 ただし、 境界線は含まない。 -2- α = -1 で極大値 2 a=1で極小値 2 直線 63α は曲線 b = -3a に原点0で 接している。 b=-3a

(2)の問題なのですが、 2回微分した後何をしているのかさっぱり分からないのですが、どなたか教えていただけないでしょうか？

〔IV〕を9以上の自然数とする. 区間 0 <æ< 1 で定義された関数 f(x)) 1 = を考える. 次の問いに答えよ. x (log x)" (1) f'(x) = 0 となるxの値を とする. an, f(an) を求めよ. また, f (an) が極大値であるか極小値であるかを判定せよ. (2) f(x)は2つの変曲点をもつことを示せ. また, それら2つの変曲点 (bn, f(bn)), (Cn, f(cm)) (bn < cm) とするとき, by を求めよ.