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総合 1 <x<1 で定義された次の関数について、 以下の問いに答えよ。
f(x)=
Cn
n+
in = 1, 2,・・・・
数学Ⅲ423
lc (x=0)
(1) f(x)がx=0で連続のとき, 数列{cm} はどんな条件を満足するか。
(2) f'(0) が存在するとき, f' (0) の値を求めよ。
(3) f'(0) が存在すれば, 数列{n(Cn-c)}は収束することを示せ。
(1) f(x) は x=0で連続であるから
n+1
lim|
x→0
limf(x)=f(0)=c
x→0
①
-≦|x|<1の各辺の逆数をとって(笑)
1200n
1
n< Txn+1
1
② すなわち
--1=∞ であるから, x→0のとき
limf(x)=limcn
lim cn=c
[ 東京工大)
本冊 例題 91,127
←x=af(x) が連続
⇔limf(x)=f(a)
xa
-1≦x< 不等号の向きに注意。
Tx
--(001)-(0)
n→∞
Oale (200)
(18) 2008
x
ゆえに
x→0
よって, ① から
818
(2) f(x)の定義から
f(x)=f(x)
ゆえに
f'(0)=lim
f(x)-f(0)
=lim
f(x)-f() }
x0
x
x→0
-x
=-f'(0)
←|-x|=|x|
←微分係数の定義式
総合
f(x)-f(0)
の分母分
X
子に-1を掛けてf(x)
よって 2f'(0) =0 すなわち f'(0) = 0
(3) f'(0) が存在するとき, (2) から
f'(0)=lim
f(x)-f(0)=0
......
③
x→0
x
f(-x) におき換える。
ここで, (1) ②の不等式から
ann|f(x)-f(0)|≤.
f(x)-f(0)
|x|
ゆえに
n\c-c|f(x)=f(0)|
n\cn−c|≤ |f(x)—ƒ(0)|
xS)x=(x);\((x)=(x)x-(x)T
(n+1)f(x)-f(0)|
·≤(n+1)| cn-c\..
|x|
+28-1x8
xSI) (I-
GUNT CL
-5
←不等式の等号は
f(x)=f(0) のときに成
(4
り立つ。
\f(x)-f(0)|≦(n+1)|cn-c|から
|x|
|f(x)=f(0)|≤n\C-c\
n
n+1
これと④の左の不等式から
|f(x)—f(0)
1/(x)-(0)|snlc-cls|1(x)-100)|
ここで, n→∞ とすると, x→0であるから, ③より
←両辺に
n
を掛ける。
[n+1
←
n+1
-≦|x|<1
n
| f(x)=ƒ(0)
lim
-f(0)|=|S(0)1=0
x10
limn|cn-c|=0
よって
n→∞
したがって、数列{n(cm-c)}は0に収束する。
←はさみうちの原理。
