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0000
基本 例題 223 係数に
[類立命館大]
基本 219 重要 224
aを正の定数とする。 3次関数f(x)=x-2ax²+ax 0≦x≦1における最大
値M(α) を求めよ。
指針 文字係数の関数の最大値であるが, p.350 基本例題 219 と同じ要領で, 極値と区間の
端での関数の値を比べて最大値を決定する。
f(x) の値の変化を調べると, y=f(x)のグラフは右図のよう
になる(原点を通る)。 ここで, x=
満たすx (これをαとする)があることに注意が必要。
以外にf(x)=f(01/3)を
よって、1/31a ( 1 / <a) カ
が区間 0≦x≦1に含まれるかどうか
3'
で場合分けを行う。
★
f'(x)=3x²-4ax+a²= (3x-a)(x-a)
解答 f'(x)=0 とすると
......
X
3'
a>0であるから, f(x) の増減表は次のようになる。
x=
a
3
x=
x = 1/3であるから
a
f'(x) + 0
f(x) 極大 極小
x=
10²K (x - ²)²(x-132-a)=0
4
a
x-2ax2+ax- -a³=0
27
0 +
x=1/3以外にf(x) = 12/10 を満たすxの値を求めると,
4
f(x)=27から
[1] 1</03 すなわちa>3のとき
f(x)はx=1で最大となり
M(a)=f(1)
...
(0)
ここで,f(x)=x(x2-2ax+α²)=x(x-a)^ から(* 曲線 y=f(x) と直線
y=
√(3)=3(-²a)² = 247ª², ƒ(a)=0
点において接するから、
よって, f(x) の 0≦x≦1における最大値M (α) は, 次のよ
うになる。
0
(0) TEXT
-a²-2a+1
- 最大
1
YA
まずは,f'(x)=0 を満た
すxの値を調べ､ 増減表
をかく。
<a > 0 から
0< <a
3
0
1-2a
1 -
a
435|34|3|
a
3
で割り切れる。 このこと
を利用して因数分解する
とよい。
a
a²
5
9
a ax
4
4
a²
X=
4
-a 0
3
の
0
WA
<指針_
★の方針｡
[1] は区間に極値をとる
xの値を含まず, 区間の
右端で最大となる場合。
[2] 3
sas3のとき, 日本
f(x)はx=1/03 で最大となり
M(a)-1(²)
練習
③223
[3] 0<a<1
< 1 すなわち
0<a<2/2のとき,
f(x)はx=1で最大となり
M(a)=f(1)
以上から
0<a<20 3 <a のとき
osus3のとき
x=-
M(α)=f(1)=α²-2a+1
- 2a
3.1
-=-²/3-a
[3] y
27 a³
43
4
11 1/30) = 12/27 となる。
a³
a²-2a+1
40 g
3
M(a)=
a
47a²
3次関数の対称性の利用
場 1.34 の参考事項で紹介した性質 ③3 を用いて、f(x)=227" を満たす x = 01/3以外の
の値を調べることもできる。
2つの極値をとる点を結ぶ線分の中点 (つまり, 変曲点)の
x座標は
MAALILL
aは正の定数とする。 関数f(x)=-
2 xx
[2] は区間に極大値をと
るxの値を含み, 極大値
が最大値となる場合。
x
[3] は区間に極大値をと
るxの値を含むが、 区間
の右端の方が極大値より
も大きな値をとり、 区間
の右端で最大となる場合。
よって、12/3a-13-a-f3a-1/3 . at 1/3=12/24から、
=a-
a
a+
<f(1)=1-2a・12+α².1
=a²-2a+1
なお, p.344 で紹介した性質を用いる方法は, 検算で使う程度
としておきたい。
+ may
y=f(x)
O
x33
+=ax²-2ax+αの区間 0≦x≦2
3
p.368
