32 第1章 式と証明
練習問題 9
(1)a0b0 のとき
a+b√ab
0<(1-8) (1-6)
2
が成り立つことを示せ.また,等号が成り立つときはどういうときかを
答えよ.××△
0+0<1+do
(2)a>0,b>0 のとき,
b
であることを示せ.xxx
開閉
精講 不等式 A>B を直接証明することが難しい場合,両辺を2乗した
不等式 A'>B2 を証明するとよい場合があります. A≧0,B≧0
であることがいえれば,
借り立つ
A'B' ⇒A>B
......
が成り立つので,A'>B2が証明できれば,A>B は証明できたことになり
*)は一般には成り立たないことに注意してください. A, B が 0 以上
はない場合は,A=-2, B=1 のような反例が作れます) .
(1)の事実をうまく使ってあげることで証明できます。
解答
ath\2
ないことに
左辺(右辺 = (a+b)-(ab)240円ない
考え方なのです。
a²+2ab+62
-ab-
4
0(1-6)
a²-2ab+b²
a2+2ab+62-4ab
4
ところ
(a-b)2
4
-≧0 (a-b は実数より)
よって、
(左辺) (右)2
20,620 より(左辺)20(右辺)なので
A≧0, B≧0 であれば
A2≧B2
⇒ A≧B
(左辺) ≧ (右辺)
等号が成り立つのは, (a-b)2=0 すなわち a=bのときである.
