-
![]()
いに答えよ。
...D, bn+1=an+3bn ......
基本29
数列{an},{bn} が次のように定め
α=4, b1=1, an+1=3an+bn
(1) 数列{an+bn},{an-bn} の一般項を求めよ。
(2) 数列{an},{bm} の一般項を求めよ。
CHART & SOLUTION
振り
返り
①
隣接
a₁ =
数列{an}, {bn} の連立漸化式
数列
2
p
|1
an+1+abn+1=B(an+αb) を導く
数
12
α (またはbm) だけの漸化式を導く
隣接3項間の漸化式となる。
3
(ア)
解答
(1) ①+② から
an+1+bn+1=4(an+bn)
inf. an+i+ab+
数列{an+bn} は, 初項 α1+b1= 5, 公比4の等比数列であ=B(a+b)と変
るから
①②から
an+6n=5.4-1
an+1-bn+1=2(an-ón)
数列{an-bn} は, 初項 α-b1=3, 公比2の等比数列であ
ると、数列
比数列になる。
①②から
an+1+abn+1
=(3an+b)+ala+
5
(イ)
るから
an-bn=3.2"-1
(2)(1) から an
(5.4"−1+3·2"-¹), b₂ = 1 ½ ( (5.4"-1-3·2n-1)
別解 ①から
bn=an+1-3an, bn+1=an+2-3an+1
これらと②から
よって
an+2-3an+1=an+3(an+1-3an)
an+2-6an+1+8an = 0
Jan+2-2an+1=4(an+1-2an)
これを変形すると
an+2-4an+1=2(an+1-4an)
数列{an+1-2an} は, 初項 a2-2a1= (3a1+b1)-2a1=5,
公比4の等比数列であるから
an+1-2an=5・4"-1
③
数列{an+1-4an} は, 初項 a2-4a1= (3a+b1)-4a1=-3,
公比2の等比数列であるから
=(3+α)an+(1+30)
B=3+α, QB=1+3a から
α(3+α)=1+3u
よって α=±1
ゆえに、数列 { an + bal.
{an-bn} は等比数列と
る。
inf. CHART&
SOLUTION の国につい
て。 まず 連立漸化式の
辺の差を求めよう。
の形を導けることがある。
6
2
⑦
an+1-4an=-3・27-1
④
1
③④から
2
an (5.4"-1+3.2n-1)
を消去する。
ゆえに、①から bm=an+1-3an = 1/12(5・4"-1-3・2"-1)
階
