発展 合同式で表される方程式
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例題
次の合同式を満たすxを, それぞれの法 mにおいて, x=a (modm)
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の形で表せ。ただし, aは 0Sa<mを満たす整数とする。
(2) 3x=6 (mod 9)
(1) 4x=3 (mod 5)
解答(1) 右の表より, 4x=3 (mod 5) と
なるのは,x=2のときである。
=2(mod 5)答
x
0
1
2
3
4
4x|0
4
8=3
12=2 16=1
よって
別解 [左辺のxの係数を1にすることを考える]
4x=3(mod 5)の両辺に4を掛けて
16x=1·x=x (mod 5), 12=2 (mod 5) であるから
=2(mod 5) 答
16x=12(mod5)
(2) 下の表より, 3x=6 (mod9)となるのは, x=2, 5, 8のときである。
x
012
3
4
5
6
7
3x| 0 3
6
9=0
12=3
15=6
18=0
21=3
24=6
よって
x=2, 5, 8(mod 9) 答
注意
x=a(mod m)または x=6 (mod m)を,「x=a, b (modm)」と表す。
3は何倍しても9を法として1と合同にはならないから,(2)は(1)の別解の
方法を使えない。また, 3x=6 (mod 9) の両辺を3で割って, x=2 (mod:)
としてはいけない。
一般に, aと mが互いに素であるときに限り,
2)
参考
S8S
ax=ay(mod m)
(証明)ax=ay (mod m) → a(x-y)=mk (kは整数)
aと mが互いに素であるから, x-yは mの倍数である。
x=y(mod m)
が成り立つ。
E8S
よって
x=y(mod m)
B
/285 次の合同式を満たすxを,それぞれの法mにおいて, x=a (modm) の
形で表せ
