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カ学
58
天井からつるした滑車の両側に,それぞれ質
量mの皿A, Bをつるし、 皿Aに質量 Mの蛙、
皿Bに同じ質量Mのおもりをのせてつり合わせ
る。I, 蛙, おもり以外の質量は無視できる。
この蛙は,床では高さんまで鉛直にとび上が
れる運動エネルギーを出せるものとする。蛙が
同じエネルギーで皿Aから鉛直にとび上がると
き、以下の間に答えよ。蛙の大きさは無視する。
0(1) 蛙が皿からとび上がるときの床に対する初
速度の大きさをVとし, 皿Aが床に接近する初速度の大きさかた
19 保存則
19 保存則
59
M
V
M+2m
リ=
正の向きを
決めるのに
運動量保存則が成り立つためには, 物体
系に外力が働かないか, 働くとしても, そ
GくUターン形
x4
x
の座標軸を
の力が0であればよい。
考えている。
M
M
(2) 蛙が出したエネルギーは Mgh であり, いまは,それが全体の運動エネル
いだしたし4んかし
20
ギーに使われているから
Mgh = ;MV2+小(m+M+m)
1
2
A
B
2
(M+2m)gh
M+m
のを代入してVを求めると
V=
(3) 蛙がとんだ後の,皿とおもりの系につ
いても1次元化を利用すると,加速度を
a
(M+m)g
M, m, およびVで表せ。
X (2) 蛙の初速度の大きさ VをM, m, h, および重力加速度gで表せ。
(3) 蛙が皿Aから離れる距離の最大値はんの何倍か。ただし, I皿と床
の衝突はないとする。
mg
aとして
o。
(m+ M+m)a=-mg+(M+m)g
M
a=
(埼玉大)
M+2m
IAの加速度は鉛直上向きにaであり, 蛙の加速度は下向きの重力加速
度gだから,皿に対する蛙の相対加速度は,上向きを正として,-gーa と
なる。一方,相対初速度は Vー(一) =DV+v であり, 最も離れたときの
Level(1)~(3) ★★
相対速度は0だから
Point & Hint (1)問題を1次元に焼き直して考えてみるとよい(問題24
(1参照)。すると, 物体系に対して重力という外力が左右に働くことになるが,そ
の合力は……。
0°-(V+v)? = 2(-g-a)h'
h'は距離の最大値である。①, ②, ③より, V,v,aを代入してんを求め
「保存則」というタイトルが大きなヒントになっている。
ると(①を用いてひをVに直してから②を代入するとよい), h'=h
よって,1倍
(3)運動方程式を用いて, 皿Aに対する蛙の運動(相対運動)を考える。
10。
ECHURE
(1) 次元化すると次のような力学系と同等である。外力としての重力は丘
右とも(M+m)g と等しく。
合力は0となっている。よ
って, 運動量保存則が成り
立つ。右向きを正とすると
Q 蛙が皿Aから最も離れる時と,蛙が床に対して最高点に達する時では、
どちらが先に起こるか。計算ではなく、定性的に考察してみよ。(★★)
(M+m)g
Mg
や蛙
(1)で蛙がとび上がるときAを押す力を N, 糸の張力をT, その際の時
間をAtとする。蛙,A, Bとおもりの一体,についてそれぞれ力積と運
動量の関係式を記し, 次に運動量保存則を導いてみよ。 (★)
mg
滑らかな水平面
0=-mu+MV- (M+m)u
