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して
値
し
こ
含む 3次関数の最大・最小
4
DO
aを正の定数とする。 3次関数f(x)=x-2ax²+ax 0≦x≦1における最大
値M (α) を求めよ。
[類 立命館大]
基本 211 重要 214
指針 文字係数の関数の最大値であるが, p.329 の基本例題211と同じ要領で, 極値と区間の端
での関数の値を比べて最大値を決定する。
f(x)の値の変化を調べると, y=f(x)のグラフは右図のようにな
YA
る(原点を通る)。 ここで, x= a
以外にf(x)=f
a
=(1/3)を満たす
(01/27)
3
f(1/3)
6章
(これをaとする)があることに注意が必要。
O
a
10/3, α ( 1 <a)が区間 0≦x≦1に含まれるかどうかで場
a
よって,
a
x
3
#²² y=x²³-2ax² +a²x
合分けを行う。
直線y=
4a²は
27
解答
x=1で持するので(と)を因数に
f'(x)=3x2-4ax+α²
f(x)=x(x2-2ax+α²)
a
=(3x-a)(x-a)
=x(x-a)^2 から
xC
.….
a
a
f'(x)=0 とすると
x=
a
f'(x) +
+ ¹ ( ²² ) = ²/² ( - ²3/3 a)² = 24/7
0
|極大
a>0であるから, f(x) の増減表
極小
[1] YA
f(x) / 4
-a³
0
a²-2a+1
は右のようになる。
27
a
4
ここで,x=
以外にf(x)=3 を満たすxの値を求めると
27
4
f(x)=1/27から
x³-2ax²+a²x-
a =0
487
x²³-²9x²0x² = ·93
27
a
ゆえに
x-
=0 xキ であるからx=
3
したがって、f(x) の 0≦x≦1における最大値 M(α) は
① [1] 1<// すなわち4>3のとき
M(a)=f(1)
①で割る②敷をとる(不等号逆にする
[2]
a
saya すなわち
≦a≦3のとき M(α)=f
[3] 0</1/3 a <1 すなわち0<a<
3
のとき
M(α)=f(1)
以上から
0<a<2,3<a のとき
M(a)=a²-2a+1
3
4
10 a
a 4
a
≦a≦3のとき
3
3
4
M(a)= a³
27
速度 (6) 曲線 y=(x)と直線ソニーでは、x=gの点において接するから、バー2/ は
(x-23 ) で割り切れる。このことを利用して因数分解している。
練習
③213
aは正の定数とする。 関数f(x)=-1+1/10ax²-2ax+α の区間 0≦x≦2にお
ける最小
8
...
430
[2] YA
4
279³
0
[3] y
1 a
3
最大
-最大
1 a
a²-2a+1
最大!
a
18
331
章
37
最大値
・最小値、方程式・不等式
