-
![]()
例題 20 無限級数の収束発散 (2)
*****
次の無限級数の収束・発散を調べ, 収束する場合はその和を求めよ.
だし,(2)は無限等比級数である.
た
2.3 4
(1)
1+1+ + +......
3
5 7
(2)(√3-1)+(4-2/3)+(6√3-10)+...
/3
(3)
n=1
2"
2(3)
3 3 4 4
n+1 n+2
(4) 2一
+
+
.......+
+......
2 2 3 3
n
n+1
「考え方」
(1)一般項を a, とするとき, lima,≠0 ならば,無限級数am は発散する。
(2)公比の無限等比級数が収束する条件は(初項)=0 または 1<<1
(3-1)+(4-2/3)+(6√3-10) +......
=(√3-1)+(√3-1)2+(√3-1)+......
よって公比は3-1であり,-1<√3-1<1であるから収束する。
∞
(3)無限級数Σam, Σb, が収束するとき,2 (ka+eb)=ka+Σb
=1
=1
である(ただし, k, lは定数).
n=1
n=1
である
(4) lim S2m limS2m(n=2m-1のときと n=2m のときで極限値が異なる)
ならばlim S は発散する.
FR
分母: 奇数の列
(1,3,5,7,....)
分子: 自然数の列
2 3 4
合
(1) 1+ + + +
3 5 7
+Smit
1=1
n
この無限級数の第n項am は,
an=
2n-1
したがって, lima=lim
n
1
1
=lim
= ¥0
0
n2n-1
n→∞
1
2
2
n
(2) 公比を とすると,r=-
4-2√3
=√3-1<1
1より
M
よってこの無限級数は発散する.
|r| <1 であるから,この無限等比級数は収束する.
その和は,
√3-1
1-(√3-1)
3 2
√3-1_(√3-1)(2+√3)
2-√3
∞
∞
(3)
3
n-l
n=1
2" 3"
2
1=1
n-l
4-3
=1+√3
33
n-1
An-1
}
(1, 2, 3, 4, …)
分母,分子をnで割
24201
aar より
42
r=
a2
ba
|r| <1 より 和は,
-1
と
3
13
より、ともに収束するから(222) も収束する。
また,それぞれの和は,
2-3
1-3
-1
をそれぞれ調べる。
8
Σa, Σb,
01
3
n-1
2
-=3,
n=1
2
n=1
=1
収束
\n-1
3
==
=1
1
Σ(an-bn)
=1
収束
00
A
よって、和は1/27)=3-1=2
