次の等式を満たす整数x,yの組を1つ求めよ。
121
1次不定方程式の整数解(1)
本例題
425
OOOのの
(1) 11x+19y=1
(2) 11x+19y=5
423 基本事項3
基本122
CHART OSOLUTION
1次不定方程式の整数解
ユークリッドの互除法の利用
11と19 は互いに素である。。まず, 等式 11x+19y=1 のxの係数11とyの
係数19に互除法の計算を行う。その際, 11<19 であるから, 11 を割る数, 19
を割られる数として割り算の等式を作る。
a=11, b=19 とおいて, 別解のように求めてもよい。
(2) xの係数とyの係数が(1)の等式と等しいから, (1)を利用できる。
(1)の等式の両辺を5倍すると
よって,(1)で求めた解をx=p, y=q とすると, x=5p, y=5q が (2) の解に
11(5x)+19(5y)=5
なる。
解答
移項すると
移項すると
移項すると
移項すると
1=3-2-1=3-(8-3-2)-1
=8-(-1)+3-3=8-(-1)+(11-8-1)-3 8=x
=11-3+8-(-4)=11·3+(19-11·1).(-4)
=11·7+19·(一4)
(0) 19=11·1+8
11=8·1+3
8=19-11·1
3=11-8-1
2=8-3-2
別解(1) a=11, b=19
パーとする。
8=19-11-1=6-a
3=11-8-1
8=3-2+2
3=2·1+1
1=3-2-1
-aー(b-a)=2aーb
|2-8-3-2
ー(b-a)-(2a-b)-2
よって
=-5a+36
1=3-2-1
=(2a-b)-(-5a+36)-1
すなわち 1.7+19-(-4)=1 …0
ゆえに、求める整数x, yの組の1つは
-7a-46
すなわち
11-7+19-(-4)=1)
よって,求める整数x,yの
組の1つは
x=7, y=-4
x=7, y=-4
(2) 0の両辺に5を掛けると
11-(7-5)+19-{(-4).5}=5
11-35+19-(-20)35
よって,求める整数x, yの組の1つは
*=35, y=-20
すなわち
る。このような解が最初に発見できるなら, それを答と
してもよい。
