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重要 例題 35 不等式の証明の拡張
00000
|a|<1, |6|<1, |c|<1のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
(1) ab+1 >a+b
CHART & THINKING
似た問題
1 結果を使う
(2) abc+2>a+b+c
2 方法をまねる
(1) 大小比較は差を作る方針。
基本 27,29
(2)文字が多いため, 差を作る方針では煩雑になる。 そこで,(2),(1)の2文字 (a, b) か
ら 3文字 (a, b, c) に拡張された問題であることに注目すると、1の方針で証明できそ
うだ。 (1) の結果をどのように利用すればよいだろうか?
→
|a|<1, |6|<1 から |αb|<1であることに注目。 また, (1) を1回利用して不十分な
ら、2回利用することも考えよう。 ①なぜこの考え方に辿りつける。
解答
35 (s+x+x) xvx O
大小比較 差を作る
(1)(ab+1)-(a+b)=(6-1)a-(3-1)=(a-1) (6-1)
lak<1,16|<1 であるから a-1<0, b-1<0
となる
よって
(a-1)(b-1)>0
すなわち (ab+1)-(a+b)>0
←-1<a<1, -1<6<1
+x(s+y)+(s+y)
0=(x+x(s+)+ x)(s+)
したがって ab+1>a + b
(2)|a|<1,|6|<1 であるから
|ab|<1-1" +
|ab|<1, |c|<1 であるから, (1) を利用して
(ab+1)+c>(a+b)+c
(abc+2)-(a+b+c)=(bc-1)a+2-b-c
bc<1
(ab)c+1>ab+c
F7
A7B
⇒A
よって
abc+2>ab+c+1
B7C
(1)から
ゆえに abc+2>a+b+c
|6|<1,|c|<1 であるから
よって bc-1<0
|a|<1 であるから
a<1
ゆえに
(bc-1)a>(bc-1)・1
よって
(bc-1)a+2-b-c>bc-1+2-b-c
=(6-1)(c-1)
|6|<1, |c|<1 であるから
(6-1)(c-1)>0
6-1<0,c-1<0
ものを
結果を使う
(1)の不等式でα を abに,
bをcにおき換える。
ab+1>a+b の両辺に
cを加える。
大小比較差を作る
-1<bc<1
α<1 の両辺に負の数
bc-1 を掛ける。
値付逆になる
ゆえに
したがって
abc+2>a+b+c
PRACTICE
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