シカ
S+ AHE
ら、
ち、
矛盾
|解答
こにな
基本例題 62 √7 が無理数であることの証明
DO
は無理数であることを証明せよ。 ただし,nを自然数とするとき,n2が7の
倍数ならば,n は 7の倍数であることを用いてよいものとする。
られ
指針無理数であることを直接証明することは難しい。そこで,前ページの例題と同様
① 直接がだめなら間接で背理法
検討
に従い「無理数である」= 「有理数でない」 を背理法で証明する。
つまり、√7が有理数 (すなわち 既約分数で表される) と仮定して矛盾を導く。
[補足] 2つの自然数a,bが1以外に公約数をもたないとき, αと6は互いに素であ
a
るといい, このとき, は既約分数である。
b
√7 が無理数でない,すなわち有理数であると仮定すると,
1以外に正の公約数をもたない2つの自然数a,bを用い
て,7=1 と表される。
このとき
a = √7b
両辺を2乗すると
a²=76² DONBANC
よって, d²は7の倍数であるから αも7の倍数である。
ゆえに, αはある自然数c を用いて α = 7c と表される。
これを①に代入すると
[類 九州大] 基本61
......
10=84
wanaud
(c)²=762 すなわち
62=7c2
よって,627の倍数であるから, も7の倍数である。
ゆえに, aとbは公約数7をもつ。
これは, aとbが1以外に正の公約数をもたないことに矛
盾する。
したがって√7は無理数である。
例題の「ただし書き」を
用いている。
TU
これも, 「ただし書き」に
る｡
上の解答で示した背理法による証明法は,√2/3,5などが無理数であることの証明
にも用いられる証明法である。この場合
\d+o
「nがん (k=2,3,5) の倍数であればnもkの倍数である｣
(*)
ことを利用する。なお、上の例題のように,「(*)を用いてよい」などと書かれていなけれ
ば,(*)も証明しておいた方が無難である。
参考 「自然数nに対し, n²が7の倍数ならば, nは7の倍数である」ことの証明は,
1
と同様にしてできる。
......
