したがって, f(x) f(x)
EXの多項式f(x)がxf" (x)+(1-x)f'(x)+3f(x) = 0,f(0)=1を満たすとき, f(x) を求めよ。
068
f(x) の次数をn (nは0以上の整数) とする。
[類 神戸
HINT f(x)の最高次
このとき
n = 0 すなわち f(x) が定数のとき, f (0)=1から
f'(x)=0, f'(x)=0
f(x) =1
項に着目して、まず
の次数を求める。
条件式に代入すると, 3f(x) =0 となり
これはf(x)=1に反するから, 不適。
f(x)=0
ab
n≧1のとき,f(x) の最高次の項を ax” (a≠0) とする。
xf" (x)+(1-x)f'(x)+3f(x)=0の左辺を変形して
{3f(x)-xf'(x)}+{f'(x)+xf"(x)}=0(\)
3f(x) と xf'(x) の次数はnであり,3f(x)-xf'(x) のn次 ←3f(x)-xf'(x)の次
この頃について 3ax"-x.naxn-1=(3-n)axn
はn以下、
条件から
ta
(3-n)ax"=0
n=3
したがって,f(x) の次数は3であることが必要条件である。
a≠0 であるから
f'(x)+xf" (x) の次数
(n-1) 以下。
このとき,f(0)=1から,f(x)=ax+bx2+cx+1 (a≠0) とお
f'(x)=3ax²+2bx+c, f"(x)=6ax+200円)
