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〈例題31>
(1) (a + 1) の展開式を求めてください。
(2)(1)を用いて, 6-1は5の倍数であることを示してください.
i+1
(3) 任意の自然数nに対して, 「65-1 は 5" の倍数である」 が成立することを数学的帰
納法を用いて証明してください。
(1) (a+1) 5
=sCoa°+sCia'+6Cza+sCa2+5C,a +55 1
= a+5a+10a³+10a²+5a+1
二項定理
(a+b)"=„C₁a"+C₁a”¯¹b+„C₂a”
-Ca***
+...+C₂ b
(2)65-1= (5+1)-1
=55+5・5+10・5°+10・52+5・5+1 -1
=5°(5+5°+10・5+10+1)
よって65-1 は 52 の倍数である.
(3)65-1は5+1 の倍数であることを数学的帰納法で示す.
n=1のとき61は(2)の結果より 5の倍数である.
よって成立する.
n=kのとき65-1=5+1l (lは整数) が成立すると仮定する.
65+1_1654.5-1
= (5*+1+1)5-11
(5+15+5(5+11)+10(5+1)+10(5+11)2+5(5k+1) +1-1
=5k+2(54k+35+53k+34+10.52k+13+10.5ki2+L)
n=k+1のとき成立する.
よって、数学的帰納法より, すべての自然数nに対して,
「65-1は5+1 の倍数である」ことは成立する.
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