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重要 例題 19
因数分解 (3次式)
00000
(1) α+6=(a+b)-3ab(a+b) であることを用いて,a+b+c-3abc
を因数分解せよ
(2)x-3xy+y+1 を因数分解せよ。
CHART & SOLUTION
3次式の因数分解
(1) 組み合わせを工夫して共通因数を作る。
まず,'+6について+6=(a+b)-3ab(a+b)を用いて変形すると
a+b+c-3abc=(a+b)-3ab(a+b)+c-3abc
次に,(a+b)+c について, a+bを1つの文字とみて
(a+b)+c={(a+b)+c}{(a+b)-(a+b)c+c}
基本11
また,-3ab(a+b)-3abc=-3ab(a+b+c) であるから,共通因数a+b+cが現れる。
(2)1=13 と考えると, (1) の結果が利用できる。
まとめ
多項式の積の
ができる。 し
ことも多い。
ここでは,
しながら因
(1) 共通
すべての
例 6c
項の組み
例
(2) まと
例 G
41
(1) a+b+c³-3abc
=(a+b)+c-3abc
=(a+b)-3ab(a+b)+c-3abc
=(a+b)+c-3ab(a+b)-3abc
まず, +6 を変形。
3ab が共通因数。
8+1a-(x+
← A'+c3
=(A+c)(A2-Ac+c^)
← (a+b+c) が共通因数。
+x (x)=
={(a+b)+c}{(a+b)-(a+b)c+c2}-3ab{(a+b)+c}
=(a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-bc+c)-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-bc+c-3ab)
2002 T
(
2
(2)x3xy+y+1
=(a+b+c)(a+b2+c-ab-bc-ca)
3=x+y+13-3.x.y.1 108 BRE
=(x+y+1)(x+y+12-xy-y・1-1・x)
=(x+y+1)(x2-xy+xy+1)
← 輪環の順。
113 と考えると, (1) の
結果が利用できる形に
変形できる。
項の組
例
(3)最
2つ以
例
a → x, b→y,c→1と
考える。
“た
例
(4)
例
(5)
POINT (1) の結果は利用されることもあるので,公式として覚えておくとよい。
a+b+c-3abc = (a+b+c)(a+b2+c2-ab-be-ca)
例えば、
また,これから,対称式+b+cは,
(a+b+c)2=a+b2+c+2ab+2bc+2ca
を利用すると,次のように基本対称式で表されることもわかる。
a+b°+c°=(a+b+c){(a+b+c)-3(ab+bc+ca)}+3abc
因な
PRACTICE 198
次の式を因数分解せよ。
(1)x+3xy+y-1
(2) x³-8y3-23-6xyz
と
