重要 例題 32 (相加平均) (相乗平均)と最大・最小
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(1) x>0のときx+
の最小値を求めよ。
x+2
(2) x>0,y>0とする。(3x+2y) (242+2) の最小値を求めよ。
解答
雪針 最小値であるから, (1) であれば, x+
・・・・・･ ① となる口を求めることになる。
よって, 例題 31 と同様に (相加平均) (相乗平均) を利用して, 不等式 ① を証明する
つもりで考える。
(1) では,2つの項の積が定数となるように, 「x+2」の項を作り出す。
(2) では,式を展開すると, 積が定数となる2つの項が現れる。
2+0) 2011
16
x+
x+2
x>0よりx+2>0であるから, (相加平均) (相乗平均) に
x+2+
/(x+2)..
= 2.4=8
=x+2+
より
16
x+2
16
x+2=2√
16
えに
26
x+2
二号が成り立つのは,x+2=
x+
16
x+2
16
x+2
16
x+2
のときである。
このとき (x+2)=16 x+2>0であるからx=2
したがって x=2のとき最小値6
(3x+2y)(1/2+120)=9+6+6x+4=13+6 ( 141+1/4)
*+2=2₂√/ x.y=2
y
y x
->0,y>0 より ¥0 ¥0であるから、
y
x
加平均) (相乗平均) により
って 13+6+1) 13+6+2=25
y
号が成り立つのは,=のときである。
y
のとき x=y2 x>0,y>0であるから x=y
たがって
x=yのとき最小値 25
<x+2=
0000
[類 九州産大 ]
16
x+2
16
x+2
かつ
基本31
x+2+
=8
ゆえに 2(x+2)=8
として求めてもよい｡
検討
3x+2y22√6xy
3+2≧2,
X y
6
の辺々を掛け合わせてもうま
くいかない(p.56 参照)。
