数学Ⅱ 第6章 微分法と積分法 第2節問題
[710高等学校 数学Ⅱ 問題13]
3次関数y=ax+bx2 + cx + d のグラフが右の図のように
なるとき, a,b,c, d の値の符号をそれぞれ求めよ。 ただ
し、図中の黒丸は極値をとる点を表している。
(解説)
f(x)=ax+bx2 + cx + d とする。
このとき f'(x)=3ax2+2bx+c=3ax+
グラフとy軸の交点のy座標が正であるから
すなわち
ƒ(0)>0
d>0
また,グラフよりy=f(x)のx=0 における接線の傾きは正であるから
f'(0) >0 すなわち c>0
さらに,グラフよりf(x) は極値を2つもち, 極値をとるxの値の符号はどちらも正であ
る。
よって, 方程式 f'(x) = 0 を満たす実数xは2つあり,それらを α, β(0<α <β) とする
と, グラフより f(x) の増減表は次のようになる。
x
a
f'(x) + 0
f(x)
B
20 +
6 \2 62
+c
3a 3a
増減表とα>0,β>0より, y=f'(x) のグラフは右の図
のような, 下に凸の放物線となるから a>0
y
ん
x
放物線y=f'(x) の軸は直線x=- で,y軸の右側に
b
3a
y
y=f'(x)
12
0 α
B
あるから
b
3a
->0 ここでa>0であるから b<0
以上より, それぞれの符号は α:正, 6: 負,c:正, d: 正
x
