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例題 267 面積[7] ･･･円と放物線で囲まれた部分
★★★☆
放物線y=x2. ① と円 x+(y-α)2 = 1 ... ② は異なる2点で接する。
(1) 定数α の値を求めよ。
(2)②の外側で,放物線①と円 ②で囲まれた部分の面積Sを求めよ。
(1)円と放物線が接する条件は, 例題 111 参照。
思考プロセス
y
(2) SS(ロロ)dxとしたいが,
円 ②はy=±√1-x+α となり,積分計算できない。
見方を変える
A
A
Q
PQ
P Q
P
Q
Action» 円と曲線で囲まれた部分の面積は,まず中心角を求めよ
y+(y-α)2=1
例題
111
よって y2-(2a-1)y+α°-1 = 0
... (3)
解 (1) ① ② より, xを消去すると
今回 ①と②が異なる2点で接するのは,③が正の重解をも
つときである。
3 ③の判別式をDとすると D=0
P197
D={-(2a-1)}-4(α-1)= -4a +5
次数が低くなるようにx
を消去する。 yを消去し
て考えることもできる。
例題 111 〔別解 1)参照。
SID=0 かつ
f(y) = y2-(2a-1)y+d-1
の軸の直線
54
れる
5
-4+5 = 0 より
a =
4
3
9
このとき ③は
v+ = 0
と
2
16
3
これは正の重解y=
をもつから
a=
4
3
(2) y=
4
①に代入すると
3
x=±
2
ないよって、接点P,Qの座標は
y
2a-1
y =
> 0 から
2
αの値の範囲を求めても
よい。
実際に 「正の」重解に
なることを確かめる
181
√3 3
しな
2
√3 3
2
4
2 3 4
5-4
A 4
A
√√3
3
S =
4
あり、②の中心をAとすると
∠PAQ = 120°
したがって, 求める面積Sは
x²)dx-(7.12.
60°-
P
√3
32
2
√3 x
2
∠PAO=60° より
∠PAQ = 120°
P
120°
1
Q
· 1². sin 120°
360°
2
①
②
√3
π
/3
2
3√3
π
3
4
4
■267 放物線y = x2 ・・・ ①と円x2+(y-2
(1) 定数αの値を
1
2点で接する。
