11 漸化式と極限 (1)
Example 11 ★★★☆☆
α=3, an+1
an
2
3
+ (n=1, 2, ...) で定められる数列{a} がある。
an
(1) 不等式 an6 を証明せよ。
(2) 不等式 an+1-√6<1(an-√6)2 を証明せよ。
(3) liman を求めよ。
[17 大阪府大]
812
解答 (1) [1] n=1のとき, a1=3> √6 より成り立つ。
[2] n=k のとき, ak>√6 が成り立つと仮定すると
ak+1-√6=
ak²+6
√6=
(ak-√6) 2
->0
2ak
2ak
よって, n=k+1 のときも成り立つ。
Key 数学的帰納法で
示す。
A+B>02272
~ふかえは良い
ている。
[1], [2] から, すべての自然数nについて an>√6 終
(2) 2√6 <am であるからこで再田
an+1-6
(055)
K
2<< de 12/1)00
amでっていうのを使いたいんだよ
になったらひくて
<ことして
(an-√6)2(an-√6)=(an-√6) 終
2an
ここに4あるか?」
2.2
④4
bn+1 <bm²
2
これを
(409
Key (2) 不等式を繰
だったの
56で
(3) b=a-√6 とおくと, (2) から
この関係式を繰り返し用いると,n≧2 のとき
byよりまし
0<bn<=bn-12<-
4
43n-2.......
1
42-1-12-1
4
17
|61|=|3-√6|<1 より lim-24-1-b,2"-1=0 であるから,
はさみうちの原理により
すなわち
n→∞
n→∞
limbn=0
n→∞
liman=√6 答
り返し用いて, はさみ
うちの原理を利用。
