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7 2次関数の最大・最小/定義域が一定区間 -
αを定数とする. 2次関数y=x-2ax+3の0≦x≦2 における最大値 M (α) を,最小値をm(4)
とする.M(a), m(a)を求めよ. またM(a) -m (α) の最小値を求めよ.
(類摂南大)
y=d(x-p)+qのグラフ
YA
d<0
平方完成 2次関数の値の変化の様子をとらえるには,
y=d(x-p2+qの形 (平方完成) にすることが絶対的であって
(が1か所にしか登場しないので, 関数値の変化の様子がよく
分かるようになる) 関数値は
YA
d>0
d0....... |-plが大きいほど大きくなる
d<0......x-pが大きいほど小さくなる
というように変化することが分かる.
q
O p
x
2
100
最大 最小 下に凸(2次の係数が正)の場合、区間α≦x≦ßにおける最大・最小は下のよう。
al
m(a
け
最大はこれらを使って
y=f(x)
(軸)
① (軸)
②
④
⑤
6
最大
: 最大
最大:
最小
最小
最大:
(7)
最小
X
x
84
a B
α ẞx a β x
最小はこれらを使って
a β
a
B
a
Bx aβ
a+β
区間の中点 2
最小値は,対称軸が区間内であれば頂点のy座標 (上図②), なければ対称軸に近い方の端点のy座標
である (1,③) 最大値は, 対称軸から遠い方の端点のy座標, つまり対称軸が区間の中点より左側に
あればf (B) (④ ⑤), 右側にあればf (α) (⑥ ⑦) である.
解答量
f(x)=x-2ax+3 ⑦ とおくと,f(x)=(x-a)-α+3であるから,
y=f(x)のグラフは下に凸で,軸はx=αである.
区間 0≦x≦2における最大値は, 区間の中点がx=1であることから,
a≦1 のとき,M(α)=f(2)=-4a+7 (アに代入した)
1≦αのとき,M(a)=f(0)=3
また,0≦x≦2における最小値は,軸が区間に入るかどうかに着目して,
0≦a≦2のとき,m(a)=f(a)=-α+3
a<0
のとき,m(a)=f(0)=3
2<a のとき, m(α)=f(2)=-4a+7
以上からM(a), m(a), M(a)-m(α) は次のようになる。
直線
b=-4a+4
64
[注] M(a), m (α) はαで表され
ることから,M(α) -m (a) は a
の関数と見ることができる.
軸と区間の中点の位置関係で場
合分けする (上図 ④と⑤のケース
と, ⑥と⑦のケースとで場合分
け).
上図の② ①③で場合分けする.
mayの場合分
直線
b=4a-4
[0≤a≤2
けは,a≦0
12≦a
a
M(a)
m(a)
M(a)-m(a)
a<0
-4a+7
0≤a≤1
-4a+7
3
-a²+3
-4a+4
(a-2)²
1≦a≦2
3
- a²+3
2<a
3
-4a+7
a²
4a-4
b=a2
b=(a-2)2
b=M(a)-m(a)のグラフは右図のようになるから, a=1のとき最
としてもよい
境界のα=0, 2
では2つの
m(α) の式で通
用し,同じにな
るかでミスを
2
a
チェックでき
