利用する。
e+1)²
する。
+3/->0
(①の左辺)=2=32
(①の右辺)=52=25
よって, ①は成り立つ。
(≧5として,n=kの広きの①,すなわち,
2k>k² ...2
(I)
(3) (I)
f
が成り立つと仮定する。
#1
② を用いて,n=k+1のときの① の両辺の差を考えると,
2k+1_(k+1)=2.2k(k+1) 2
>2.k²-(k²+2k+1)
=k-2k-1
=(k-1)2-2
k≧5より(h-1)216であるから(k-
(k—p)²—2>0
よって、
2²+1 (311²
が成り立つ
すなわち、
(II) より (は5以上の自然数nについて成り立つ。
n=1のとき
( ① の左辺) = 1
(①の右辺)=√1=1
よって, ① は成り立つ。
(Ⅱ)n=kのときの ①, すなわち,
1+-
1 + 1/2 + 1/ 32 +/- +/=/= = √/ k
1+
√2 √3
√k
が成り立つと
②を用いて, n
1 1
√2 √3
1+ +
z√√√k+
1
√k+1
√k √ √k k
√k+1
① は成り立つ。
k+1のときも
よって,
++ -≧√k.......②
1+ 十
する。
+1のときの① の両辺の差を考えると,
k+1
+..+
√k.√k+1+1-(k+1)
/+1
√k. √k +1 k
√k+1
k-k
√k+1
√k
+
1
√k
+
+ 1/2+1/32
√√2 √√3
が成り立つ。
すなわち,n=k+1のときも ① は成り立つ。
(I), (II)より, ① はすべての自然数nについて成り立つ。
1
√k+1
+
√√k+1
-Z√k+1
2+1(+1)^ を示す。
仮定②を利用する。
1+
(TC
1
+
√2 3
+ +
√k
+
k+1
≧√k+1
を示す。
仮定② を利用する。
OVk:Vk+1-k
第1章
=√√√k √k+1-(√√k)²
=√k(√k+1-√k)>O
のようにして示してもよい。
