x=-1,
3±√5,2±√3.
2
例題 6.2
(1) 正の実数x,yが2x+y=10 を満たしながら変化するとき,xyの最大値を求めよ.
･･･()
(2)実数x, y, zx+y+z=18 を満たしながら変化するとき,2x+y+2z が最小値をと
るときの(x,y,z)の値を求めよ..
【解答】
(1)2x20,y2>0より相加平均と相乗平均の大小関係から,
よって、
2x2+y2
2√
2
5≧√2xy.
xy ≤
5√√2
2 +1x1
二次式→一次
等号が成立するのは2x=v.つまり(x,y)=()のとき.
√10
したがって, xy は x =
2
,y=√5のとき最大値
5√2
をとる.
...(答)
2
(2) コーシー・シュワルツの不等式より,
(
(a²+b²+c²) (p²+q²+r²) ≥ (ap + bq + cr)².
ここで,a=2,b=1,c=2,p=x,g=y,r=z とおくと,
よって,
9(x^2+y^+22)=(2x+y+2z) 2.
(2x+y+2z)≦162.
9√2 ≦2x+y+z≦9√2.
等号が成立するのは
ENSICAL
x
2
=y=122 かつ 2x+y+2z= -9√2.
よって, 最小値をとるときのx,y,zの値は
(
(x,y,z)=(-2√2-√2,-2√2)
(注)三角関数を利用する解法や, 判別式を利用する解法など,様々な解法がある.
*
･･･()
②
