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二項係数と等式の証明
基本例題 5
C=nn-1Ck-1 (n22, k=1, 2, …, n) が成り立つことを証明せよ。
0)(1+x)"の展開式を利用して,次の等式を証明せよ。
(ア) Cot»Ci+n C2+……+»Cr+ +.Cn=D2"
(イ)Co-Ci+»C2-…+(-1)C,+… +(-1)",C,=0
.Co-2,C.+2°,C2-… +(-2)",.C,+… +(-2)",Cm=(-1)"
大)
p.11 基本事項4
のの
1章
1
n!
指針>(1),C,=
を利用して,k,Ck, nnー1Ck-1 をそれぞれ変形する。
な
(2) ア)二項定理 (p.11 基本事項4))において, a=1, b=x とおくと
(1+x)"=,Co+,Cix+,Cax"+ .C,x"+ +.Cn.c"
等式のと,与式の左辺を比べることにより, ①の両辺でx31 とおけばよいことに気づ
く。同様にして, (イ), (ウ)では r に何を代入するか を考える。
解答
n!
(1) k,Ck=k
=n*
An!=n(n-1)!
nnー1C&-1=n*
(k-1)!{(n-1)-(k-1)}!
k, C&=nnー1C&-1
(2) 二項定理により, 次の等式① が成り立つ。
=n*
したがって
すべてのxの値に対して成り立つ。
(1+x)"="Co+Cix+»C2x?+……+.Crx"+……+Cnx"
(ア) 等式ので,x=1とおくと
(1+1)"=,Co+»C;·1+»C2*1°+…+.C,·1"+… +»Cn*1"
Co+Ci+»C2+…+C,+……+Cn=D2"
よって
(イ) 等式ので,x=-1とおくと
よって
Co-C,+»C2-………+(-1)",C,+…+(-1)",C,=0
(ウ) 等式ので, x=-2とおくと
(1-2)"=,Co+»Ci. (-2)+»C2·(-2)+…+.C, (-2)"++,Ca-(-2)"
Co-2,Ci+2°%C2ー……+(-2)",C,+ +(-2)",Cn=(-1)"
よって
かを素数とするとき, (1)から
この式は,C& が必ずかで割り切れることを示している。
RCa=Do-1Ca-1 (カ22:k=1, 2,
これ
(p.19 EX3
練習 次の等式が成り立つことを証明せよ。
C」C2
2
2?
2"
2"
(2) nが奇数のとき ,Co+»Ca+…+.Cn-1=,Ci+»Cs+ +.C%3D2"1
nが偶数のとき ,Co+,C2+…+Cm3"Ci+»C。+ +.Cn-1=D2"-1
|3次式の展開と因数分解、二項定理
