-
![]()
思考プロセス
★★★
例題244
mnを自然数とする。定分I(mm) = f(x)dx について
(1) I(m, 1) を求めよ。
(2) I(m,n)=I(n, m) を示せ。
(-)-40-
(3) n ≧2のとき,I(m,n) をI(m+1, n-1)を用いて表せ。
(4) I(m,n) をm, nを用いて表せ。
《@Action
対応を考える
積分漸化式は, 部分積分法や置換積分法を利用せよ
(2) I(n, m) =
-S₁x (1-x) dx
X
1 (m, n) = √ √x (¹²)
(4) (3)
← とおく
(3) I(m,n) とI(m+1, n-1)の関係を考える。
I(m,n) = x" (1-x)"dx←
= S²²
次数下がる (微分)
x (1-x) dx
次数上がる (積分)
I(m+1, n-1)= = Sx
(1) I(m, 1) =
+1
I(m,n) = /(m+1, n-1)=...
-1
=√₁ (x²
fx™ (1-x) dx
xm-xm+1)dx
等しいことを示す。
|x+1 (1-x)"-1dx
xm+1
.m +1
mm +2
m+2
(2) 1-x=t とおくと, x=1-t であり
dt
dx
=-1
xtの対応は右のようになるから
I(m,n)= -L₁₁
1
1
1
m+1 m+2 (m+1)(m+2)
(1-t)mtn (-1)dt
積の形であるから, 部分積分法
(,1)
(1) の利用
x
0→1
t 1 → 0
=fra-t)"de
- L'x²-x)-
=fx x"(1-x)"dx = I(n, m)
( 東京電機大)
例題243
部分積分法を用いて求め
ることもできる。
ola
dx=-dt
MGA
¶
(3) n ≧2のとき
I(m, n) =
(43)より、
北m+1
[***(1-x) dx = f(+1)(1-x)" de
Sx
d=
m+
dx
mm+1
・ (1 − x)" ] ) + S •n(1-x) dx
xm4
m+1
I(m, n)
n
m+1
n
m+1
m+1
m+1 Jo
n
m+1
≧2について
n
m+1
n-1
m+2
JM +1
1 (1-x)"-1 dx
I(m+1, n-1)
-I(m+1, n-1)
I(m+2, n-2)
.
n-2
n-1
m+2 m+3
2
m+n-
n!
(m+1)(m+2)(m+n-1)
m!n!
(m+n+1)!
これは,n=1のときも成り立つ。
したがって
I(m,n)=
I(m+n-1,1)
1
(m+n)(m+n+1)
m!n!
(m+n+1)!
(x) B(p,q+1)= 4 B(p, q)
p+q
たが, b, gが正の数であるときの定積分 B(p, y) =
数と呼ばれている (大学数学の内容)。
ベータ関数には次のような性質がある。
(ア) B(p, g) = B(q, b)
(イ) pB(p,q+1)=qB(p+1,q)
(ウ) B(p +1,g)+B(p, g+1) = B(p,q)
部分積分法を用いる。
√x+(1-x) dx
=I(m+1, n-1)
I(m, n)
n
m+1
I(m+1, n-1)
-I(m+1, n-1)
n-1
m+2
I(m+2, n-2)
I(m+2, n-2)
n-2
m+3
これらの関係を
I (m+n-1,1) が現れる
までくり返す。
(m+1)(m+2)(m+n+1)
I(m+3, n-3)
Point ベータ関数
例題244では,m,nが自然数であるときの定積分I(m,n)=
= fox"
x" (1-x)"dx を考え
P1(1-x)dx はベータ関
(m+n+1)!
m!
例題244 (2) と同様
例題244 (3) と同様
6章 定積分
■244 例題 244 の結果を用いて, 定積分 ∫ x (1-x)* dx を求めよ。 また,自然数 m,
nに対して S" (x-a)(x-B)" dx を求めよ。
p.445 問題244
