思考のプロセス
例
249
点A(1,2)を通り,傾きmの直線を1とする｡ 直線と放物線C:y=x2
で囲まれる部分の面積Sが最小となるような定数mの値, およびそのと
きの面積S の最小値を求めよ。
例題
35
H
の構図になる。公式の利用
cm Action 放物線と直線で囲む面積は、 f(x-a)(x-B)dx=-1/2(B-c) を用いよ 19255
開 点 A(1,2) は放物線Cの上側の点であるから,放物線Cと
直線は異なる2点で交わる。
直線の方程式はy=m(x-1)+2であるから,
放物線y=x2 との交点のx座標は
x=m(x-1)+2
あんま。
Cとlの方程式を連立すると,α,β は複雑。
直接 β-αを求める。
(B-a)³
→ 解と係数の関係から考える。
すなわち x-mx+m-2=0
の実数解である。 2つの実数解を
α, β(a <β)とすると
(
S=
= "{m(x-1)+2-x)dx
=
- S₁ (x² - m²
(x2-mx+m-2)dx
ゆえに
- ₁²(x − a) (x − B) dx = 1/(B − a) ³)
==
ここで解と係数の関係より
aβ=m-2
(B − a)² = (a + ß)² − 4¤ß
=m²-4m+8
a+B=m,
したがって, S は
m=2のとき 最小値
= (m−2)² +4
α<β より,β-α>0 であるから, β-αは
m=2のとき 最小値 √4 = 2
23
6
=
VA
430
2
α 0
y=x2
1β
判別式をDとすると
D = m²-4m+8
= (m-2)^²+4>0
y-2=m(x-1)
x-mx+m-20 を実
際に解くと
x=
m± √√m²-4m+8
2
であり
B-a = √√m²-4m+8
=√(m−2)2+4
よって, β-αはm=
のとき
最小値 √4 = 2
と考えてもよい。
