要 例題 192 区間全体が動く場合の最大・最小
00000
(x)=x10x2+17x +44 とする。区間x+3 における f(x)の
最大値を表す関数g(α)を, αの値の範囲によって求めよ。
CHART & THINKING
最大最小
グラフ利用 極値と端の値に注目
αの値が変わると 区間 a≦x≦a+3 が動くから, αの値によって場合分けする。
場合分けの境目はどこになるだろうか?
基本190
y=f(x) のグラフをかき, 幅3の区間 a≦x≦a+3 を左側から移動させながら考えよう。
・極大値をとるxの値が区間内にあるか、区間の両端の値(4) f(u+3)のどちらが大
いかに着目すればよい。f(α)=f(a+3) となるαの値も境目となることに注意。
解答
f(x)=3x²-2x+17=(x-1)(3x-17)
17
x
***
1
3
f'(x) = 0 とすると
17
x=1.
3
f'(x) +
0-
0
+
増減表から,y=f(x) のグラフは右下のようになる。
f(x) 極大 極小
[1] a+3<1 すなわち α <-2 のとき
g(a)=f(a+3)=(a+3)3-10(a+3)2+17(a+3)+44
=α-α-16a+32
{2} a+3≧1 かつα <1 すなわち −2≦α <1 のとき
g(a)=f(1)=52
a≧1 のとき, f(a)=f(a+3) とすると
a3-10a2+17a+44-a³-a²-16a+32
整理すると
94²-33a-12=0
よって
(3a+1) (α-4)=0
[3] 1≦a<4 のとき
[4] 4≦a のとき
a≧1 から
a=4
g(a)=f(a)=α-10² +17a +44
g(a)=f(a+3)=α-α-16a+32
{1}
y+ y=f(x)
Linf.
a+3
ya
y=f(x)
52
44
17
3
[2]
Ay y=f(x);
[3] y
y=f(x)
[4]
y=f(x);
52
0
14+317 x
3
a a+3
a
a4 のとき,最大値を異なるxの値でとるが,xの値には言及していないの
4≦a として [4] に含めた。
