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00000
重要 例題 36 三角形の内心を表す複素数
異なる3点O(0),A(α),B(β) を頂点とする △OAB の内心をP(z) とする。
このときは次の等式を満たすことを示せ。
TOADET A
指針> 三角形の内心は,3つの内角の二等分線の交点である。
次の 「角の二等分線の定理」
(*)を利用し,∠0 の二等分
線と辺 AB の交点をD(w) として, w を α, βで表す。
(*) 右の図で OD が △OAB の ∠O の二等分線
⇒ AD:DB=0A:OB
AD: DB=OA: OB=α:b
ゆえに
よって
解答
OA=|α|=a, OB=||= b,
AB=|ß-α|=c とおく。
また,∠AOB の二等分線と辺AB の
交点をD(w) とする。
[Bla+α|β 九州大]
2=
40
次に、△OAD において,∠Aと二等分線 AP に注目する。
以上のことは,内心の位置ベクトルを求めるときの考え方とまったく同じである。
「改訂版 チャート式基礎からの数学ⅡI + B 」 p.422 参照。
ba+aß
であるから w=
a+b
Pは∠OAB の二等分線とOD の交点であるから
すなわち
2=
2=
|a|+|B|+|Ba| RA0A
a+b
a+b+c
・W=
OP: PD=OA: AD=a: ( a + bc) = (a + b) : c
a
?
OP:OD=(a+b):(a+b+c)
a+b
a+b+c
Bla+TatB
|a|+|B|+|β-α|
A(a)
始ま
ba+aß
a+b
OP =
a
10P1
1001
P(z)
HOROS
b
ba+aß
a+b+c
0
O
2
D
D(w) bB(B) 角の二等分線の定理。
to A
【絶対値が付いたままでは扱
いにくいので、a,b,c と
おいた。
'P
これより,Pは線分OD を
(a+b):cに内分する点で
あるから
c.0+(a+b)w
z=a+b+c
としてもよい。
