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重要 例題 66 直交する2接線の交点の軌跡
重要例題
00000
楕円x2+4y=4について、 楕円の外部の点P(a, b)から、この楕円に引いた2
本の接線が直交するような点Pの軌跡を求めよ。
[類 お茶の水大]
基本63
指針
胴
点Pを通る直線y=m(x-a)+6が、楕円x2+4y=4に接するための条件は、
D=0 が成り立つことである。
x2+4{m(x-a)+b}2=4の判別式Dについて,
また,D=0の解が接線の傾きを与えるから, 直交⇔傾きの1 と 解と係数の関
係を利用する。
なお、接線がx軸に垂直な場合は別に調べる。
[参考] 次ページでは、楕円の補助円を利用する解法も紹介している。
円
CHART 直交する接線 D=0, (傾きの積)=-1の活用
解答
[1] αキ±2 のとき, 点Pを通る接線の方程式は
y=m(x-a)+6 とおける。
これを楕円の方程式に代入して整理すると
本
YA
5
P(a, b)
10 1
√√5
2
x
(4m²+1)x2+8m(b-ma)x+4(b-ma)2-4=0
このxの2次方程式の判別式をDとすると D=0
D
20
√5
ここで =16m² (b-ma)-(4m²+1){4(b-ma)2-4}
4
V5 x2+4y2=4
とすると
=-4(b-ma)2+4(4m²+1)
1
=4{(4-a2)m²+2abm-b2+1}
ゆえに (4-α²)m²+2abm-62+1=0
①
(*) (6-ma) のまま扱うと,
計算がしやすい。
mの2次方程式 ①の2つの解を α β とすると αβ=-1
直交⇔傾きの積が1
!
-62+1
すなわち
=-1
4-a²
0=1+
よって
a2+b2=5, a≠±2
[2] α=±2のとき, 直交する2本の接線はx=±2,y=±1
(複号任意) の組で, その交点の座標は
(2, 1), (2, -1), (-2, 1), (-2, −1)
これらの点は円x2+y2=5上にある。
[1], [2] から, 求める軌跡は 円x2+y2=5
(
解と係数の関係
■2次方程式
px2+qx+r=0 について,
r
- - 1 が成り立つとき,
判別式
|大92-4pr=q'+4p>0
となり、異なる2つの実数
解をもつ。
