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-2i
事項■
基本 例題 37 2乗して6になる複素数
2 乗すると6i になるような複素数 z を求めよ。
指針
1
z=x+yi (x, y は実数) とする。
② 226 すなわち (x+yi) = 6iの左辺を展開し, iについて整理する。
①①①①
基本 35,36
69
③ 前ページと同じように,次の 複素数の相等条件を利用してx, yの値を求める。
a+bi=c+di⇔ a=c, b=d (a, b,c,dは実数)
CHART えのある計算=-1に気をつけて, iについて整理
z=x+yi (x,y は実数) とすると
22=(x+yi)2=x2+2xyi+yziz
=x2-y2+2xyi
2章
をきちんと書く。
7
<i=-1
z2=6iのとき x²-y²+2xyi=6i-&-2445P-648287
x,yは実数であるから, x2 -y2と2xyも実数である。
Jei
複素数
c+di
が等しい
(別解刻
解答
したがって x²-y²=0
......
①, 2xy=6
②
実部, 虚部がそれぞれ等し
重要
①から
『="-)=
(x+y)(x-y)=0
-1)
よって
y=±x
③コリー
[1] y=x のとき,②から
x²=3(1)=-=
x+y=0またはx-y= 0
== (S)
すなわち
x=±√3-1-i=
y=xであるから
x=√3のとき
y=√3,
2
=3
[2] y=-x のとき,②から
x=-√3のときy=-√3
x2=-3
(複号同順)を用いて,次の
ように書いてもよい。
x=±√3,y=±√3
(複号同順)
これを満たす実数xは存在しない。
または
以上から
2=√3+ √3i, −√3-√3i
注意②で,xy=3>0であるから, xとyは同符号であ
る。ゆえに、③において y=-xとなることはない。
(x,y)=±√3+√3)
(複号同順)
HA
虚数では大小関係や、正負は考えない
虚数にも, 実数と同じような大小関係があると仮定し, 例えば, i>0 とする。
検討
この両辺にżを掛けると, ixi>0xi すなわち > 0 となるが,実際にはi=-1であるか
ら,これは矛盾である。 一方, i < 0 としても同じように, i>0 となって矛盾が生じる。
更にi≠0であることは明らかである。
よって, iを正の数, 0, 負の数のいずれかに分類することはできない。
したがって, 正の数, 負の数というときには, 数は実数を意味する。
また、特に断りがない場合でも、設問で 2α+1>36-2のような不等式が与えられたら, 文
字 α 6 は実数であると考えてよい。
と書くこともある。」
