「(極大値)×(極小値)＞0」の時に実数解が1個持つ場合と、「極大値)×(極小値)＝0」の時に実数解が2個持つ場合がどうしてこう言えるのかが分かりません。 どういうグラフの概形の時に上記の条件を満たすのか教えて欲しいです。

3次関数 y=f(x) が 極値をもたない FAKT (極大値)×(極小値) > 0 ・極値をもつ(極大値)×(極小値)=0･･・実数解2個 (極大値)×(極小値) <0･･･実数解 3個 ･実数解1個

(3)の答えをなぜ赤線のところから出せるのかが特にわかりません。 解説お願いします！

基礎問 150 第6章 微分法と 95 接線の本数 曲線 C:y=x-x 上の点をT(t, ピ-t) とする. (1) 点Tにおける接線の方程式を求めよ. (2) 点A(a,b) を通る接線が2本あるとき, a, ものみたす関係式 を求めよ.ただし,α> 0, b≠α-a とする. (3)(2)のとき、2本の接線が直交するようなa, b の値を求めよ. 精講 (2) 3次関数のグラフに引ける接線の本数は、 接点の個数と一致し ます.だから, (1)の接線に A(a, b) を代入してできるtの3次方 程式が異なる2つの実数解をもつ条件を考えますが,このときの 考え方は 94 注で学習済みです. (3) 未知数が2つあるので, 等式を2つ用意します。 1つは (2)で求めてあるので,あと1つですが,それが「接線が直交する」 を式にしたものです.接線の傾きは接点における微分係数 (83) ですから、 2つの接点における微分係数の積=-1 と考えて式を作ります. 解答 (1) f(x)=x-x とおくと,f'(x)=3x²-1 よって, Tにおける接線は, y-(t³-t)=(3t²-1)(x-t) ∴.y=(3t²-1)x-2t3 (2) (1) の接線は A(α, b) を通るので 6=(3t²−1)a-2t3 ‥. 2t3-3at2+a+b=0 (*) (*)が異なる2つの実数解をもつので, g(t)=2t-3at2 +α + b とおくとき, y=g(t) のグラフが,極大値、極小値をもち, ( 極大値)×(極小値)=0 であればよい. 94 注 g'(t)=6t2-6at=6t(t-a) g'(t)=0 を解くと, t=0, t=α だから 185 y=x³-x| A(a, b), (t,t³-t)

解答の12行目の❗️がついてるところで意味は理解できるのですが答えにu≠0はいらないんですか？ 教えて欲しいです！

342 00000 f(x)=x-xとし、関数y=f(x)のグラフを曲線C とする。 点 (u, v) を通る曲 演習 例題224 3本の接線が引けるための条件 (2) [類 鹿児島大] 基本 219, 演習 223 |線の接線が3本存在するためのu, vの満たすべき条件を求めよ。 また、その 条件を満たす点(u, v) の存在範囲を図示せよ。 指針 前ページの演習例題223と考え方は同様である。 ① 曲線C上の点 (t, f(t)) における接線の方程式を求める。 2 ① で求めた接線が,点 (u, v) を通ることから,t の3次方程式を導く。 ③② の3次方程式が異なる3個の実数解をもつ条件を, u, vの式で表す。 解答 f'(x)=3x2-1であるから, 曲線C上の点の座標を(t, f(t)) とすると,接線の方程式は すなわち y-(t³-t)=(3t²-1)(x−t) y=(3t2-1)x-2t3 v=(3t²-1)u—2t³ この接線が点 (u, v) を通るとすると よって 2t3-3ut2+u+v=0 (1) 3次関数のグラフでは、 接点が異なれば接線も異なる前ページの検討 参照。 ゆえに,点(u, v) を通るCの接線が3本存在するための条件 は,t の3次方程式 ① が異なる3個の実数解をもつことである。 よって, g(t)=2t3-3ut'+u+vとすると, g(t) は極値をもち, 極大値と極小値が異符号となる。 g'(t)=6t²-6ut=6t(t-u) であるから u0 かつg(0)g(x)<0 g(0)g(u) < 0 から (u+v)(-u³+u+v) <0 (2) ②でu=0 とすると20となり,これを満たす実数 vは存在 しない。ゆえに,条件u≠0 は ② に含まれるから、求める条件 は ② である。 [u+v>0 ②から よって -u³+u+v<0 u+v<0 =u³+u+v>0 [v>_u \v<u²³-u ...... または <-u または [v>u³_u したがって,点 (u, v) の存在範囲は 右の図の斜線部分。 境界線を含まない。 ✓3 0 3 2√3 9 2√3 9 (02/0₂ √3 3 ◄y-f(t)=f'(t)(x−t) 1125 I p.337 の例題219 参照。 g' (t)=0 とすると t=0, u u=0のとき, t=0,uの うち一方で極大,他方で極 小となる。 v=uuのとき v=3u²-1 0 とすると √√3 3 u=± √3 u=± 03 のとき LES & HI (複号同順) = 2√3 9 直線v=-uは曲線Cの 原点Oにおける接線。

解説にある①②③④の連立方程式がなぜか解けません。途中式ありで教えてください。

410x=1で極大値6, x=2で極小値5をとるような3次関数f(x) を求めよ。 連立なぜかとけん 411 関数y=x(x-α) の増減を次の各場合について調べ, 極値があればその極値 を求めよ。 ただし, aは定数とする。 第6章 微分法と

この問題の図示が難しくて出来ません 分数の三次関数のグラフの書き方を教えてください！ お願いします！！

3次曲線と接線 99 とができるような, a, bの条件を求め, 点 (a, b) の存在する領域を図示せよ。 点(1,0)を通って, 曲線 y=x²+ax²+bxに異なる3本の接線をひくこ 精講 曲線 y=f(x)の接線の方程式は, 接点(t, f(t)) により決まります. このときの接線の方程式は y=f'(t)(x-t)+f(t) であり,これが点(α, b) を通ることから,t の方 程式 b=f'(t)(a-t)+f(t) ......(*) を得ることができます. この方程式をみたす tを 求めれば,その点における接線が1本ひけること になります。 すると, 3次関数のグラフでは接点 が異なれば接線も異なるので, 接線の本数=接点の個数 =方程式(*)の実数解の個数 ということになります。 解答> 解法のプロセス 接線の方程式 y=f'(t)(x−t)+ƒ(t) y=x³+ax²+bx y'=3x²+2ax+b 曲線上の点(t,t+at+bt) における接線の方程 式は f(t)=2t³—(3—a)t²—2at—b とおく. 3次関数のグラフでは接点が異なれば接線 も異なるので 点 (1, 0) を通る接線が3本ひける ⇔f(t)=0 が異なる3つの実数解をもつ ↓点(1,0)を通る 0=f'(t)(1-t)+f(t) ↓ (*) 方程式(*)が異なる3つの実数 解をもつ y=(3t²+2at+b)(x−t)+t³+at²+bt :: y=(3t²+2at+b)x-2t³-at² これが点 (10) を通るのは 0=-2t°+(3-a)t2+2a+bを通って接線をいく to your it のときである. 方 接線が3本存在する 225 yi f y=f(t)₁ KHUT

数2bの三次関数の問題です。 解答の［3］でx=1となる理由がわかりません。教えてください

354 0000 基本 例題 223 係数に [類立命館大] 基本 219 重要 224 aを正の定数とする。 3次関数f(x)=x-2ax²+ax 0≦x≦1における最大 値M(α) を求めよ。 指針 文字係数の関数の最大値であるが, p.350 基本例題 219 と同じ要領で, 極値と区間の 端での関数の値を比べて最大値を決定する。 f(x) の値の変化を調べると, y=f(x)のグラフは右図のよう になる(原点を通る)。 ここで, x= 満たすx (これをαとする)があることに注意が必要。 以外にf(x)=f(01/3)を よって、1/31a ( 1 / <a) カ が区間 0≦x≦1に含まれるかどうか 3' で場合分けを行う。 ★ f'(x)=3x²-4ax+a²= (3x-a)(x-a) 解答 f'(x)=0 とすると ...... X 3' a>0であるから, f(x) の増減表は次のようになる。 x= a 3 x= x = 1/3であるから a f'(x) + 0 f(x) 極大 極小 x= 10²K (x - ²)²(x-132-a)=0 4 a x-2ax2+ax- -a³=0 27 0 + x=1/3以外にf(x) = 12/10 を満たすxの値を求めると, 4 f(x)=27から [1] 1</03 すなわちa>3のとき f(x)はx=1で最大となり M(a)=f(1) ... (0) ここで,f(x)=x(x2-2ax+α²)=x(x-a)^ から(* 曲線 y=f(x) と直線 y= √(3)=3(-²a)² = 247ª², ƒ(a)=0 点において接するから、 よって, f(x) の 0≦x≦1における最大値M (α) は, 次のよ うになる。 0 (0) TEXT -a²-2a+1 - 最大 1 YA まずは,f'(x)=0 を満た すxの値を調べ､ 増減表 をかく。 <a > 0 から 0< <a 3 0 1-2a 1 - a 435|34|3| a 3 で割り切れる。 このこと を利用して因数分解する とよい。 a a² 5 9 a ax 4 4 a² X= 4 -a 0 3 の 0 WA <指針_ ★の方針｡ [1] は区間に極値をとる xの値を含まず, 区間の 右端で最大となる場合。 [2] 3 sas3のとき, 日本 f(x)はx=1/03 で最大となり M(a)-1(²) 練習 ③223 [3] 0<a<1 < 1 すなわち 0<a<2/2のとき, f(x)はx=1で最大となり M(a)=f(1) 以上から 0<a<20 3 <a のとき osus3のとき x=- M(α)=f(1)=α²-2a+1 - 2a 3.1 -=-²/3-a [3] y 27 a³ 43 4 11 1/30) = 12/27 となる。 a³ a²-2a+1 40 g 3 M(a)= a 47a² 3次関数の対称性の利用 場 1.34 の参考事項で紹介した性質 ③3 を用いて、f(x)=227" を満たす x = 01/3以外の の値を調べることもできる。 2つの極値をとる点を結ぶ線分の中点 (つまり, 変曲点)の x座標は MAALILL aは正の定数とする。 関数f(x)=- 2 xx [2] は区間に極大値をと るxの値を含み, 極大値 が最大値となる場合。 x [3] は区間に極大値をと るxの値を含むが、 区間 の右端の方が極大値より も大きな値をとり、 区間 の右端で最大となる場合。 よって、12/3a-13-a-f3a-1/3 . at 1/3=12/24から、 =a- a a+ <f(1)=1-2a・12+α².1 =a²-2a+1 なお, p.344 で紹介した性質を用いる方法は, 検算で使う程度 としておきたい。 + may y=f(x) O x33 +=ax²-2ax+αの区間 0≦x≦2 3 p.368

白い紙に書いたんですが、なぜ、書いた式みたいにしたらだめなのですか？(3, 0)とおるし、接点の座標をxとしたら、紙に書いたような式でも良いような気がしてわかりません

例題221 3次関数のグラフの接線 Y点 (30) から曲線 y=x2x² に引いた接線の方程式を求めよ。 例題203 絶外の点から引いた接線は,まず接点を(t, f(t) とおけ

この問題なのですが、なぜ x^2-ax + (a + 3) = 0が D=(-a)^2-4×1•(a+3)になるのか、わかりません😭 説明してくださったら嬉しいです。 よろしくお願いします。

*** 関数y=2x-3ax²+ (6a+18)x-7 が極値をもつときの定数aの値 の範囲を求めよ。 例題 6-16 中間期末 ooo 出題度 要チェック TJAN (x)`1 2 5ECOMO. 「極値をもつ』 のだから, y=0の2次方程式の判別式をDとする 3次関数の最高次 と, D>0 になる範囲を求めればいい。 >01.0 ||解答 y=2x-3ax²+ (6a+18) -7 y=6x²-6ax+ ( 6a +18) 6x²-6ax+(6α+18) = 0 とすると, センター 試験出題度 =d-4a-12>0 (a-6) (a +2)>0より a<-2,6<a 000 LELSERONO LERONOTAS 〈答え 例題 6-16 x^²-ax + (a+3)=0 3470 極値をもつので,この2次方程式の判別式をDとして D>0 になる範囲を求めると D=(-a)^²-4・1 (a+3) NXEER 両辺を 6 で割る

極値をとるxの値の差の絶対値 とあるので|β-α|となりませんか？

演習問題 XX 114 次の条件 (i), (ii), (Ⅲ)をみたす 3次関数y=f(x) を求めよ. (i) f(0)=1 (ii) f'(0)=f'(1)=-3 () 極大値と極小値が存在して,それらの差が極値をとるxの値の差の絶対値 に等しい. 画 (弘前大)

数学IIの微分法の曲線の接線という内容なのですが、真ん中辺りにある赤文字のf'(1)=2の2がどこのものなのか分かりません。どなたか教えていただけないでしょうか。

解答 Style 62 曲線の接線 a,b,c は実数とする。 3次関数y=ax+bx+cx+2のグラフ が, x=1で直線y=2x+1と接し, x=-2でx軸と交わるとき a,b,cの値を求めよ。 [02 創価大] f(x)=ax²+bx2+cx +2 とすると ff'(x)=3ax2+2bx+c y=2x+1において,x=1のときy=3 よって、条件から f(1)=3, f'(1)=2, f(-2)=0 ゆえに a+b+c+2=3 3a+2b+c=2 ...... 1 (2 (3) -8a+4b-2c+2=0 1, 2, ②. ③を解いてa=1/13.6=1/12c=/1/3 193 key y=f(x)のグラフ のx=pにおける接線の 傾きはf'(p) なぜ? ②① から 002a+6=1‥. 4 リー ③ +①×2 から ****** -a+b=0...... ⑤ ④-⑤から a=1/23